如图①,将两块全等的三角板拼在一起,其中△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC且AC = BC;如图1,将两块全等的三角板拼在一起,其中△ABC的边BC在直线上,AC⊥BC且AC=BC；△EFP的边FP也在直线上,边EF与边AC重合
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/03 23:52:40
如图①,将两块全等的三角板拼在一起,其中△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC且AC = BC;如图1,将两块全等的三角板拼在一起,其中△ABC的边BC在直线上,AC⊥BC且AC=BC；△EFP的边FP也在直线上,边EF与边AC重合
如图①,将两块全等的三角板拼在一起,其中△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC且AC = BC;
如图1,将两块全等的三角板拼在一起,其中△ABC的边BC在直线上,
AC⊥BC且AC=BC；△EFP的边FP也在直线上,边EF与边AC重合,EF⊥FP且EF=FP.
（1）在图1中,请你通过观察、测量,猜想并直接写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将三角板△EFP沿直线向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连接AP、BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想；
（3）将三角板△EFP沿直线平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP、BQ.你认为（2）中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明；若不成立,请说明理由.
如图①,将两块全等的三角板拼在一起,其中△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC且AC = BC;如图1,将两块全等的三角板拼在一起,其中△ABC的边BC在直线上,AC⊥BC且AC=BC；△EFP的边FP也在直线上,边EF与边AC重合
都是AP=BQ,AP⊥BQ关系,自己证明
（1）AB=AP； AB⊥AP.
（2）BQ=AP； BQ⊥AP.
证明：○1∵EF=FP，EF⊥FP，∴∠EPF=45°.
又∵AC⊥BC，∴∠CQP=45°，
∴CQ=CP.
在△BCQ和△ACP中，
BC=AC，∠BCQ=90°=∠ACP，CQ=...
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（1）AB=AP； AB⊥AP.
（2）BQ=AP； BQ⊥AP.
证明：○1∵EF=FP，EF⊥FP，∴∠EPF=45°.
又∵AC⊥BC，∴∠CQP=45°，
∴CQ=CP.
在△BCQ和△ACP中，
BC=AC，∠BCQ=90°=∠ACP，CQ=CP，
∴△BCQ≌△ACP.
∴BQ=AP.
○2如图18-4，延长BQ交AP于点M.
∵△BCQ≌△ACP，∴∠CBQ=∠CAP.
∵∠CBQ＋∠CQB=90°，∠CQB=∠AQM，
∴∠CAM＋∠AQM=90°，
∴∠QMA=90°，即BQ⊥AP.
（3）成立.
证明：○1如图18-5，
∵∠EPF=45°，∴∠CPQ=45°，
又∵AC⊥BC，∴ ∠CQP=45°，
∴CQ=CP.
在△BCQ和△ACP中，
BC=AC，∠BCQ=90°=∠ACP，CQ=CP，
∴△BCQ≌△ACP.
∴BQ=AP.
○2如图18-5，延长QB交AP于点N.
∵△BCQ≌△ACP，∴∠CQB=∠APC.
∵∠CBQ＋∠CQB=90°，∠PBN=∠CBQ，
∴∠APC＋∠PBN=90°，
∴∠QNA=90°，即BQ⊥AP.
说明：这是2008年河北省中考数学试题的第24题. 通过观察、测量、猜想结论以及对结论进行证明，把合情推理和演绎推理融合在一起，使学生经历了数学发现的全过程，体会到了合情推理的重要性和证明的必要性．
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