如图,点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上,已知三角形MCN的周长等于正方形ABCD的周长的一半,求角MAN的度数.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 06:50:26
如图,点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上,已知三角形MCN的周长等于正方形ABCD的周长的一半,求角MAN的度数.
如图,点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上,已知三角形MCN的周长等于正方形ABCD的周长的一半,求角MAN的度数.
如图,点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上,已知三角形MCN的周长等于正方形ABCD的周长的一半,求角MAN的度数.
延长CD到M',使DM'＝BM,
∵AD＝AB,∠B＝∠ADC＝90°
则△BAM≌△DAM'
∴∠BAM＝∠DAM' AM＝AM'
∴∠MAM'＝90°
∵△MCN的周长＝BC＋CD
∴MN＝BM＋DN＝M'N
∴△AMN≌△AM'N（SSS）
∴∠MAN＝∠MAM'＝∠BAD＝45°
45
△BAM≌△DAM'
∴∠MAM'＝90°
∴△AMN≌△AM'N（SSS）
∴∠MAN＝∠MAM'＝∠BAD＝45°
分析：因为正方形四边相等，四角为90°，即AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，将△BAM搬到△DAM'处，即将△BAM绕点A按逆时针方向旋转90°到△DAM'的位置。
延长CD到M'，使DM'＝BM，
∵AD＝AB，∠B＝∠ADC＝90°
则△BAM≌△DAM'
∴∠BAM＝∠DAM' AM＝AM'
∴∠MAM'＝90°
∵△MCN的周长＝...
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分析：因为正方形四边相等，四角为90°，即AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，将△BAM搬到△DAM'处，即将△BAM绕点A按逆时针方向旋转90°到△DAM'的位置。
延长CD到M'，使DM'＝BM，
∵AD＝AB，∠B＝∠ADC＝90°
则△BAM≌△DAM'
∴∠BAM＝∠DAM' AM＝AM'
∴∠MAM'＝90°
∵△MCN的周长＝BC＋CD
∴MN＝BM＋DN＝M'N
∴△AMN≌△AM'N（SSS）
∴∠MAN＝∠MAM'＝∠BAD＝45°
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（1）延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，进而求证△AMN≌△AML，即可求得∠MAN=∠MAL=45°；
（2）设CM=x，CN=y，MN=z，根据x2+y2=z2和x+y+z=2，整理根据△=4（z-2）2-32（1-z）≥0可以解题．：（1）如图，延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，
∠1=∠2，∠NAL...
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（1）延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，进而求证△AMN≌△AML，即可求得∠MAN=∠MAL=45°；
（2）设CM=x，CN=y，MN=z，根据x2+y2=z2和x+y+z=2，整理根据△=4（z-2）2-32（1-z）≥0可以解题．：（1）如图，延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，
∠1=∠2，∠NAL=∠DAB=90°
又MN=2-CN-OM=DN+BM
=BL+BM=ML
∴△AMN≌△AML
∴∠MAN=∠MAL=45°
（2）设CM=x，CN=y，MN=z
x2+y2=z2
∵x+y+z=2，则x=2-y-z
于是（2-y-z）2+y2=z2
整理得2y2+（2z-4）y+（4-4z）=0
∴△=4（z-2）2-32（1-z）≥0
即（z+2+ 2根号2）（z+2- 2根号2）≥0
又∵z＞0
∴z≥ 2根号2-2当且仅当x=y=2- 根号2时等号成立
此时S△AMN=S△AML= 1/2ML•AB= 1/2z
因此，当z= 2根号2-2，x=y=2- 根号2时，S△AMN取到最小值为 根号2-1 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等，各内角为直角的性质，本题中求证△AMN≌△AML是解题的关键 望采纳，谢谢！！！
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