计算∫∫ln[(x^2+y^2)^0.5] dxdy,D;a^2

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 11:51:43
计算∫∫ln[(x^2+y^2)^0.5]dxdy,D;a^2计算∫∫ln[(x^2+y^2)^0.5]dxdy,D;a^2计算∫∫ln[(x^2+y^2)^0.5]dxdy,D;a^2解(极坐标法)

计算∫∫ln[(x^2+y^2)^0.5] dxdy,D;a^2
计算∫∫ln[(x^2+y^2)^0.5] dxdy,D;a^2

计算∫∫ln[(x^2+y^2)^0.5] dxdy,D;a^2
解(极坐标法):做变换,设x=rcosθ,y=rsinθ,则dxdy=rdθdr
∴原式=∫(0,2π)dθ∫(a,b)rlnrdr
=2π∫(a,b)rlnrdr
=2π[(r²lnr/2)|(a,b)-1/2∫(a,b)rdr] (应用分部积分)
=2π[(b²lnb-a²lna)/2-(r²/4)|(a,b)]
=2π[(b²lnb-a²lna)/2-(b²-a²)/4]
=π/2[2(b²lnb-a²lna)-b²+a²]