切线应用 求详解半圆O的直径AB=2cm,PB、PC切半圆B、C,PA交半圆于D,且弧AC：弧CB=1：2 求 （1）∠BPC的度数（2） PD的长
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 02:48:00
切线应用 求详解半圆O的直径AB=2cm,PB、PC切半圆B、C,PA交半圆于D,且弧AC：弧CB=1：2 求 （1）∠BPC的度数（2） PD的长
切线应用 求详解
半圆O的直径AB=2cm,PB、PC切半圆B、C,PA交半圆于D,且弧AC：弧CB=1：2
求 （1）∠BPC的度数
（2） PD的长
切线应用 求详解半圆O的直径AB=2cm,PB、PC切半圆B、C,PA交半圆于D,且弧AC：弧CB=1：2 求 （1）∠BPC的度数（2） PD的长
解前分析：
我们知道：① 顶点在圆心的角 叫圆心角.本题中的∠AOC 和 ∠BOC 均为圆心角.
② 圆周 对的圆心角为360°,
半圆 对的圆心角为180°,
现已知 弧AC ：弧CB = 1 ：2
∴ 弧AC 对的圆心角为 ∠AOC = 180° × （1/3） = 60°
弧BC 对的圆心角为 ∠BOC = 180° × （2/3） = 120°
连OC,∵PB、PC 均与半圆相切
∴PC ⊥ OC 且PB ⊥ OB （圆的切线垂直于过切点的半径）
∴ ∠PCO = ∠PBO = 90°
在四边形PCOB 中,∵ ∠BPC + ∠BOC + ∠PCO + ∠PBO = 360°
∴ ∠BPC = 360° -- （∠BOC + ∠PCO + ∠PBO）
= 360° -- （120° + 90° + 90°）
= 60°
（2）求PD的长,还要用到相似.
您先观察Rt△POB 和 Rt△POC
∵ OB = OC （均为半径）
PO = PO （公共边）
∴ Rt△POB ≌ Rt△POC （HL）
∴ ∠POB = ∠POC = （1/2）× ∠BOC = （1/2）× 120° = 60°
∴ ∠BPO = 30°
∴ OB = （1/2）× PO
∴ PO = 2 × OB = 2
∴ PB的平方 = PO的平方 -- OB的平方 = 4 -- 1 = 3
∴ PB = √3
求PB的长,也可以这样简捷来求：PB = BO × tan∠POB = BO × tan60° = 1 × √3 = √3
在Rt△PBA 中,由勾股定理,PA的平方 = PB的平方 + AB的平方 = 3 + 4 = 7 ∴PA = √7.
连DB,∵ AB是半圆的直径
∴ ∠BDA = 90° （直径所对的圆周角为90°）
∴ ∠PDB = 90°
在 Rt△PDB 和 Rt△PBA 中,
∠PDB = ∠PBA = 90°
∠BPD = ∠APB （公共角）
∴ Rt△PDB ∽ Rt△PBA （相似判定定理,有两个角对应相等的三角形 相似）
∴ PD ：PB = PB ：PA
∴ PD × PA = PB × PB
∴ PD =（PB × PB）/ PA
= ( √3 × √3 ) / √7
= 3 / √7
= (3√7) / 7
1）∵弧AC ：弧CB= 1 ：2， ∴∠CDB=120°
又∵∠PCD=∠PBD=90°， ∴∠BPC=360-120-90-90=60°
(2) ∵ ∠POB=60°，OB=1，∴PB=根号3
∴PA=根号7 （勾股定理）
又因为BD⊥AP，∴△ABD∽△APB,
设PD=x，得 根号3...
全部展开
1）∵弧AC ：弧CB= 1 ：2， ∴∠CDB=120°
又∵∠PCD=∠PBD=90°， ∴∠BPC=360-120-90-90=60°
(2) ∵ ∠POB=60°，OB=1，∴PB=根号3
∴PA=根号7 （勾股定理）
又因为BD⊥AP，∴△ABD∽△APB,
设PD=x，得 根号3 / x =根号7 / 根号3，
解得 x= （3 x 根号7 ）/ 7 （一开始的方法怕你不理解，所以换了个简单的方法。。。）
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