很难的题目,回答得好有加分诶!已知：a,b,c,d为正有理数,且满足a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,求证a=b=c=d.请高手们帮帮忙,写出具体过程,谢谢啦,回答得好有加分诶!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 11:08:23
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很难的题目,回答得好有加分诶!
已知：a,b,c,d为正有理数,且满足a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,求证a=b=c=d.
请高手们帮帮忙,写出具体过程,谢谢啦,回答得好有加分诶!
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a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4=4abcd-2a^2b^2-2c^2d^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2=-2(ab-cd)^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
平方相加等于0,所以每一个平方都等于0
(a^2-b^2)^2=(c^2-d^2)^2=(ab-cd)^2=0
a^2-b^2=c^2-d^2=ab-cd=0
a,b,c,d都大于0
a^2=b^2,所以a=b
c^2=d^2,所以c=d
ab-cd=0
ab=cd
把a=b和c=d代入
b^2=d^2,b=d
所以a=b=c=d
根据不等式x^2+y^2>=2xy 当x=y时等式才成立
a^4+b^4>=2a^2*b^2
c^4+d^4>=2c^2*d^2
4abcd=a^4+b^4+c^4+d^4>=2a^2*b^2+2c^2*d^2=2[(ab)^2+(cd)^2]>=2*2ab*cd=4abcd
满足上述关系,只有ab=cd且a^2=b^2且c^2=d^2
又a,b,c,d为正有理数
所以a=b c=d 又ab=cd
则a=b=c=d
4abcd=a^4+b^4+c^4+d^4
≥2a^2*b^2+2c^2*d^2
≥4abcd
当且仅当 a^2=b^2，c^2=d^2,ab=cd时取等号
即 a=b c=d ab=cd
所以 a=b=c=d