已知三次函数f(x)=ax3-5x2+cx+d(a不等于0)图像上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f(x)在x=3处有极值 (1)求f(x)的解析式 (2)若当x属于(0,m)时,f(x)>0恒成立,求实数m的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 11:58:00
已知三次函数f(x)=ax3-5x2+cx+d(a不等于0)图像上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f(x)在x=3处有极值 (1)求f(x)的解析式 (2)若当x属于(0,m)时,f(x)>0恒成立,求实数m的取值范围
已知三次函数f(x)=ax3-5x2+cx+d(a不等于0)图像上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f(x)在x=3处有极值 (1)求f(x)的解析式 (2)若当x属于(0,m)时,f(x)>0恒成立,求实数m的取值范围
已知三次函数f(x)=ax3-5x2+cx+d(a不等于0)图像上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f(x)在x=3处有极值 (1)求f(x)的解析式 (2)若当x属于(0,m)时,f(x)>0恒成立,求实数m的取值范围
点(1,8)代入得 8=a-5+c+d,a+c+d=13 ①
f ‘(x)=3ax^2-10x+c,
f(x)在x=3处有极值,所以f ‘(3)=0,即9a-30+c=0,②
f(x)在(1,8)的切线的斜率为f ‘(1),f ‘(1)=3a-10+c
切线经过(1,8)、(3,0)两点,斜率为(8-0)/(1-3)=-4,即3a-10+c=-4,③
联立①②③解得:a=4,c=-6,d=15
f(x)=4x3-5x2-6x+15
f ‘(x)=12x^2-10x-6
令f ‘(x)=0,x=(5±√97)/12,
在x=(5+√97)/12时取得极小值1<(5+√97)/12<15/12=1.25
所以f((5+√97)/12)>4*1^3-5*1.25^2-6*1.25+15=3.6875>0
所以,对于任意m>0,都有当x属于(0,m)时,f(x)>0恒成立