已知函f（x）是偶函数,而且在（0,+∞）上是增函数.判断f（x）在（-∞,0）上是增函数还是减函数,并证明你的判断.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 04:45:09
已知函f（x）是偶函数,而且在（0,+∞）上是增函数.判断f（x）在（-∞,0）上是增函数还是减函数,并证明你的判断.
已知函f（x）是偶函数,而且在（0,+∞）上是增函数.
判断f（x）在（-∞,0）上是增函数还是减函数,并证明你的判断.
已知函f（x）是偶函数,而且在（0,+∞）上是增函数.判断f（x）在（-∞,0）上是增函数还是减函数,并证明你的判断.
f（x）在（-∞,0）上是减函数
证明：设x1＜x2＜0则-x1＞-x2＞0
∵f（x）在（0,+∞）上是增函数
∴f（-x1）＞f（-x2）
又f（x）是偶函数
∴f（-x1）=f（x1）,f（-x2）＞f（x2）
∴f（x1）＞f-x2）
∴f（x）在（-∞,0）上是减函数
偶函数是关于y轴对称的，根据题意，函数在（0，+∞）上是增函数.所以，函数在（x）在（-∞，0）上是减函数。
根据对称性知道f（x）在（-∞，0）上是减函数
证明：
令x1＜x2＜0
那么-x1＞-x2＞0
因为f（x）在（0，+∞）上是增函数
所以f(-x1)＞f(-x2)
又f（x）是偶函数
所以f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2)
所以f(x1)＞f(x2)
即对于任意x1＜x2＜0有f(x1)＞f(x...
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根据对称性知道f（x）在（-∞，0）上是减函数
证明：
令x1＜x2＜0
那么-x1＞-x2＞0
因为f（x）在（0，+∞）上是增函数
所以f(-x1)＞f(-x2)
又f（x）是偶函数
所以f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2)
所以f(x1)＞f(x2)
即对于任意x1＜x2＜0有f(x1)＞f(x2)
所以f（x）在（-∞，0）上是减函数
收起
减函数，
设在（-∞，0）有x1，x2，且x1>x2
则-x1,-x2,在（-∞，0）且-x1< -x2
f（x）在（0，+∞）上是增函数.
所以 f(-x1) < f(-x2)
则，f(x1) - f(x2) = f(-x1) - f(-x2) <0
即f(x1) < f(x2)
减函数
证明，因为f(x)在（0，正无穷）是增函数，所以任意x1 x2>0,xi>x2有f(x1)>f(x2)，又因为f（x）为偶函数，所以任意-x1，有-x1<-x2，且f(-x1)=f(x1)>f(x2)=f(-x2),即f(-x1)>f(-x2),由x1 x2的任意性，f(x)在（负无穷，0）单调减得证