已知两个正整数的平方和是468,它们的最大公约数与最小公倍数的和是42,求这两个数.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 22:37:17
已知两个正整数的平方和是468,它们的最大公约数与最小公倍数的和是42,求这两个数.
已知两个正整数的平方和是468,它们的最大公约数与最小公倍数的和是42,求这两个数.
已知两个正整数的平方和是468,它们的最大公约数与最小公倍数的和是42,求这两个数.
468=12×12+18×18
12和18的最大公因数是6,最小公倍数是36
6+36=42
所以这两个数是12和18
设它们的最大公约数为n，则这两个数分别为an和bn，它们的最小公倍数为abn。列方程：
(an)²+(bn)²=468，a²n²+b²n²=468，n²(a²+b²)=468=2x2x3x3x13，
n+abn=42，n(1+ab)=42=2X3X7，
可知n为6，n²为36...
全部展开
设它们的最大公约数为n，则这两个数分别为an和bn，它们的最小公倍数为abn。列方程：
(an)²+(bn)²=468，a²n²+b²n²=468，n²(a²+b²)=468=2x2x3x3x13，
n+abn=42，n(1+ab)=42=2X3X7，
可知n为6，n²为36，a²+b²=13，1+ab=7，即ab=6，
a=2，an=12
b=3，bn=18
收起
最大公约数与最小公倍数X,Y
X+Y=42
X(1+Y/X)=42，42=1*42=2*3*7
X=1或2或21或6或14
y=41或40或21或36或28
根据两个正整数的平方和是468
两个正整数为18 12
思路：
468这个数字个位是8
如下表：
1*1=1
2*2=4
3*3=3
4*4=16
5*5=25
6*6=36
7*7=49
8*8=64
9*9=81
所以：
个位为8=3+5或8=4+4
所以
根据条件1可选出两个备选答案：尾数为3和5 或2和8
之后，试验：...
全部展开
思路：
468这个数字个位是8
如下表：
1*1=1
2*2=4
3*3=3
4*4=16
5*5=25
6*6=36
7*7=49
8*8=64
9*9=81
所以：
个位为8=3+5或8=4+4
所以
根据条件1可选出两个备选答案：尾数为3和5 或2和8
之后，试验：
3*3+5*5=34舍弃
2*2+8*8=68舍弃
13*13+5*5=194舍弃
13*13+15*15=394舍弃
12*12+8*8=208舍弃
12*12+18*18=468符合
在验证条件2，满足
则这两个数为12和18
注：此题从条件1入手较简单，因为平方和问题大多用到尾数的特殊性，不容易出多解，方便运算！
收起