若X大于等于2 求X+2/X的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 04:06:25
若X大于等于2 求X+2/X的最小值
若X大于等于2 求X+2/X的最小值
若X大于等于2 求X+2/X的最小值
∵X≧2
又∵[√X－√﹙2/X﹚]²=﹙√X﹚²＋﹙√﹤2/X﹥﹚²－2√X√﹤2/X﹥=X＋2/X－2√﹙X﹤2/X﹥﹚≧0
∴X+2/X≧2√[X×﹙2/X﹚]=2√2
∴X+2/X的最小值为2√2 此时X=2/X X=√2与X≧2矛盾
∴X+2/X的最小值应为X=2时.
X+2/X=2+1=3
转化成二次方程的形式，用B的平方减去4AC，可得最小值为2倍的根号2。
设当x=x1(x1≥2)时，X+2/X取最小值，即X1+2/X1，
则对于任意x≥2，有（X+2/X）-（X1+2/X1）≥0
化简（X+2/X）-（X1+2/X1）
=X-X1+2/X-2/X1
=X-X1+2(X1-X)/X*X1 （可省步骤）
=(X-X1)(1-2/X*X1) ...
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设当x=x1(x1≥2)时，X+2/X取最小值，即X1+2/X1，
则对于任意x≥2，有（X+2/X）-（X1+2/X1）≥0
化简（X+2/X）-（X1+2/X1）
=X-X1+2/X-2/X1
=X-X1+2(X1-X)/X*X1 （可省步骤）
=(X-X1)(1-2/X*X1) （可省步骤）
=(X-X1)(X*X1-2)/X*X1≥0
因为X≥2，x1≥2，
所以X-2≥0，x1-2≥0，X+X1≥2（进而2(X+X1)≥8）
所以(X-2)(x1-2)≥0,即XX1-2(X+X1)+4≥0
所以XX1≥2(X+X1)-4≥8-4=4，
所以X*X1-2≥2﹥0
所以对于任意X≥2，(X*X1-2)/X*X1﹥0恒成立
若要对于任意X≥2，(X-X1)(X*X1-2)/X*X1≥0也恒成立，
需且只需X-X1≥0恒成立，即X≥X1恒成立，即X1=2，
此时，X+2/X的最小值为X1+2/X1=2+2/2=3。
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