1^3+2^3+3^3+……+n^3=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 04:14:02
1^3+2^3+3^3+……+n^3=?
1^3+2^3+3^3+……+n^3=?
1^3+2^3+3^3+……+n^3=?
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
证明：
利用立方差公式：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
由(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1得：
1=1
2^4=(1+1)^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4=(2+1)^4=2^4+4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4=(3+1)^4=3^4+4*3^3+6*3^2+4*3+1
……
(n+1)^4=n^4+4*n^3+6*n^2+4*n+1
以上等...
全部展开
由(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1得：
1=1
2^4=(1+1)^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4=(2+1)^4=2^4+4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4=(3+1)^4=3^4+4*3^3+6*3^2+4*3+1
……
(n+1)^4=n^4+4*n^3+6*n^2+4*n+1
以上等式两边分别相加得：
(n+1)^4=1+4（1^3+2^3+3^3+……+n^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+n^2）+4（1+2+3+……+n）+n a
令1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3=t 因为：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6;
1+2+3+……+n=n(n+1)/2 老了不死
代入a中可得：t=(n+1)^2*n^2/4
即1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3=(n+1)^2*n^2/4
收起
这个有公式的
1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3=(n+1)^2*n^2/4