高数:(高斯公式)一道计算证明题区域Q表示为|u|+|v|+|w|
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 13:48:23
高数:(高斯公式)一道计算证明题区域Q表示为|u|+|v|+|w|
高数:(高斯公式)一道计算证明题
区域Q表示为|u|+|v|+|w|
高数:(高斯公式)一道计算证明题区域Q表示为|u|+|v|+|w|
本题中,
对我们习惯的x、y、z是用字母u、v、w来记的.
区域Q是,
截距式平面u+v+w=1与3个坐标面所围.
围成区域Q的曲面共4片,
其中3个分别是在3个坐标面上,
1个是在平面u+v+w=1上.
现在,
取这些围成闭区域Q的闭曲面上的曲面积分,
并假设P=u,Q=v,R=w,
则该曲面积分
SSPdvdw+Qdwdu+Rdudv=SSS3dudvdw.
这是用高斯公式所得,当然曲面应取外侧.
这时知道SSSdudvdw=(1/3)SSPdvdw+Qdwdu+Rdudv.
现在计算SSPdvdw+Qdwdu+Rdudv =1/2即可.
而SSPdvdw+Qdwdu+Rdudv等于分别在4片曲面上的积分之和.
其中在3个坐标面上,积分都为零；
(注意P=u,Q=v,R=w,3个坐标是u、v、w)
又,在平面u+v+w=1上,由于对称性,有
SSPdvdw+Qdwdu+Rdudv =3SSRdudv,
具体按照对坐标的第2类曲面积分计算3SSRdudv：
3SSRdudv=3SSwdudv,
注意上式左边是曲面积分,右边是2重积分,
该2重积分的积分区域是平面u+v+w=1在uov上的投影域：
0≤u≤1,0≤v≤1-u.,
该2重积分的被积函数是w=1-u-v,是从u+v+w=1中解出的.
从而计算该2重积分
3SSwdudv=S"0到1"duS"0到1-u"(1-u-v)dv=1/2.
方法2,因为,
四面体的体积=与之相应的六面体体积的 1/6,
在此,四面体是区域Q,
所求3重积分SSSdudvdw的值是区域Q的体积,
六面体是边长为1的正方体.故得证.