已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点F,若椭圆上存在一点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于该段的中点,则该椭圆的离心率为
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/09 08:47:22
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点F,若椭圆上存在一点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于该段的中点,则该椭圆的离心率为
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点F,若椭圆上存在一点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于该段的中点,则该椭圆的离心率为
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点F,若椭圆上存在一点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于该段的中点,则该椭圆的离心率为
设此椭圆的另外一个焦点为F1 计切点为M 连接OM PF1
由OF=OF1（O为坐标原点） FM=PM 根据三角形的中位线定理可得PF1=2OM
易知OM=b OF=c ∴PF=2√c^2-b^2
由椭圆定义知PF1=2a-2√c^2-b^2 ∴有2a-2√c^2-b^2=2b
即a-√2c^2-a^2=√a^2-c^2 两边同时除以a(a≠0）
得1-√2e^2-1=√1-e^2 平方后移项 得3e^2-1=2√2e^2-1
令m=e^2 再平方 化简整理得9m^2-14m+5=0 即(9m-5)(m-1)=0
∴m=1(舍去) 或者m=5/9 ∵m=e^2且e＞0 ∴e=√5/3
综上所述 e=√5/3即为所求
设P点坐标为P(x,y),F(c,0),设以椭圆短轴为直径的圆是以E点E(0,b/2)为圆心，以b/2为半径的圆，与线段PF相切于该段中点G((x+c)/2,y/2),由题意知，EG垂直于PF,而EG向量=((x+c)/2,(y-b)/2）,PF向量=(c-x,-y).因此EG*PF=0即是(x+c)*(c-x)/2+-y*(y-b)/2=0整理得x^2+y^2-yb-c^2=0又因为P点在椭圆上...
全部展开
设P点坐标为P(x,y),F(c,0),设以椭圆短轴为直径的圆是以E点E(0,b/2)为圆心，以b/2为半径的圆，与线段PF相切于该段中点G((x+c)/2,y/2),由题意知，EG垂直于PF,而EG向量=((x+c)/2,(y-b)/2）,PF向量=(c-x,-y).因此EG*PF=0即是(x+c)*(c-x)/2+-y*(y-b)/2=0整理得x^2+y^2-yb-c^2=0又因为P点在椭圆上，将椭圆方程带入上式消去x得y^2-yb-c^2+a^2*(1-y^2/b^2)=0即是y^2*(a^2-b^2)+(b^3)*y+b^2*(c^2-a^2)=0再由相切条件德尔塔等于零，即是德尔塔=b^4-4*(b^2-a^2)*(c^2-a^2)=0最后带入a^2=b^2+c^2以及离心率e=c/a(0
收起