设有两杯等体积的水,温度分别为T1,T2,若比热C=a+bT+cT^2.,证明两杯水混合后,Tm大于等于（T1+T2)/2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 15:44:38
设有两杯等体积的水,温度分别为T1,T2,若比热C=a+bT+cT^2.,证明两杯水混合后,Tm大于等于（T1+T2)/2
设有两杯等体积的水,温度分别为T1,T2,若比热C=a+bT+cT^2.,证明两杯水混合后,Tm大于等于（T1+T2)/2
设有两杯等体积的水,温度分别为T1,T2,若比热C=a+bT+cT^2.,证明两杯水混合后,Tm大于等于（T1+T2)/2
1、楼主给出的比热没单位,稍显不足,但并不影响.故假定水的比热单位为：热量/(单位体积 度),这样更便于解题；
2、比热中的系数a、b、c应该明确其符号及大小,这是关键.a＞0是没问题的.我的印象好像是水的 C 是随温度的升高而升高吧,所以,b＞0,且通常较a小两个数量级.至于系数c,不论其正负,在数值上,它通常要比b小4个数量级.有了这样的基本情况,才能证明.否则,情况也许会相反.
下面是证明.
假定 T1＞T2,水的比热随温度的升高而升高,则必有 T1＞Tm＞T2,且T1放热,T2吸热.
因C是与温度有关的,故T2升高dT时,其微过程的吸热量为：
δQ2=C×V×dT
最终达到平衡后,T2总吸热为 Q2=∫C×V×dT=V∫C×dT=VCm2(Tm-T2) ,（积分上界为Tm,下界为T2）,式中的Cm2是水在[T2,Tm]间的平均比热,为
Cm2=[1/(Tm-T2)]∫C×dT （积分中值定理）
同理,Cm1=[1/(T1-Tm)]∫C×dT 与 Q1= VCm1(T1-Tm)
由热平衡可知,Q1=Q2,于是得到：
Cm1(T1-Tm)=Cm2(Tm-T2)
讨论：
1、因为C随温度的升高而升高,故高温的C总是要大于低温的C；
2、高温区域[T1,Tm]的平均比热Cm1,显然要大于低温区域[Tm,T2]的平均比热Cm2.
于是,上式变为(T1-Tm)/(Tm-T2)=Cm2/Cm1(1/2)(T1+T2)
如果b=c=……=0,即比热是个常数（与温度无关）,则Cm1=Cm2,得到
Tm=(1/2)(T1+T2)
综合结果为：Tm≥(1/2)(T1+T2)
命题得证.
所以,b 的符号很重要,如果 b
设T1
Tm=(C1T1+C2T2)/(C1+C2)
C1
C1T1+C2T2>=C2T1+C1T2
2(C1T1+C2T2)>=C1T1+C2T2+C2T1+C1T2=(C1+C2)(T1+T2)
即：
Tm>=(T1+T2)/2，得证。