已知1/3≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M（a）-N（a）（1）求g(a)的函数表达式；（2）判断g(a)的单调性,并求出g(a)的最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/25 07:58:48
已知1/3≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M（a）-N（a）（1）求g(a)的函数表达式；（2）判断g(a)的单调性,并求出g(a)的最小值.
已知1/3≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M（a）-N（a）
（1）求g(a)的函数表达式；
（2）判断g(a)的单调性,并求出g(a)的最小值.
已知1/3≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M（a）-N（a）（1）求g(a)的函数表达式；（2）判断g(a)的单调性,并求出g(a)的最小值.
f'(x)=2ax-2,因为a>0,所以f"=2a>0,f'(x)为增函数
若f'(x)=0,则x=1/a,所以f(x)在[1,1/a]为减函数,在[1/a,3]为增函数,且对x=1/a对称.
所以N(a)=f(1/a)=1-1/a
当a在[1/3,1/2]时,1/a在[2,3],|1-1/a|>|3-1/a|,所以,M(a)=f(1)=a-1
当a在[1/2,1]时,1/a在[1,2],|1-1/a|
（1）求g(a)的函数表达式；
（2）判断g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值。
f'(x)=2ax-2，因为a>0,所以f"=2a>0,f'(x)为增函数
若f'(x)=0,则x=1/a，所以f(x)在[1，1/a]为减函数，在[1/a,3]为增函数,且对x=1/a对称。
所以N(a)=f(1/a)=1-1/a
当a在[1/3,1/2]时，1/a在[2，3],|1-1/a|>|3-1/a|,所以，M(a)=f(1)=a-1
当a在[1/2,1]...
全部展开
f'(x)=2ax-2，因为a>0,所以f"=2a>0,f'(x)为增函数
若f'(x)=0,则x=1/a，所以f(x)在[1，1/a]为减函数，在[1/a,3]为增函数,且对x=1/a对称。
所以N(a)=f(1/a)=1-1/a
当a在[1/3,1/2]时，1/a在[2，3],|1-1/a|>|3-1/a|,所以，M(a)=f(1)=a-1
当a在[1/2,1]时，1/a在[1，2],|1-1/a|<|3-1/a|,所以，M(a)=f(3)=9a-5
所以
g(a)=M（a）-N（a）=a+1/a-2 [1/3,1/2]
9a+1/a-6 [1/2,1]
因为g'(a)=1-1/a*a [1/3,1/2]
9-1/a*a [1/2,1]
所以a在[1/3,1]时，0≤g'(a)，所以g(a)在[1/3，1]上为增函数
所以a在[1/3,1]时，Min=g(1/3)=-2/3
不知此题为高中问题还是大学微积分问题，暂且用微积分方法给出解。
收起