圆锥曲线 若直线y=x-b与抛物线y2=2px (p>0)相交于不同两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,o为坐标原点,给出下列4个命题：①若b=2p,则∠AOB=90° ②若b=p,则∠AOB为锐角 ③若b=p/2,则y1 y2=-p^2 ④若b=p/2,则x1 x2=-p^2,其
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 08:34:32
圆锥曲线 若直线y=x-b与抛物线y2=2px (p>0)相交于不同两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,o为坐标原点,给出下列4个命题：①若b=2p,则∠AOB=90° ②若b=p,则∠AOB为锐角 ③若b=p/2,则y1 y2=-p^2 ④若b=p/2,则x1 x2=-p^2,其
圆锥曲线
若直线y=x-b与抛物线y2=2px (p>0)相交于不同两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,o为坐标原点,给出下列4个命题：①若b=2p,则∠AOB=90° ②若b=p,则∠AOB为锐角 ③若b=p/2,则y1 y2=-p^2 ④若b=p/2,则x1 x2=-p^2,其中真命题是_____________
圆锥曲线 若直线y=x-b与抛物线y2=2px (p>0)相交于不同两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,o为坐标原点,给出下列4个命题：①若b=2p,则∠AOB=90° ②若b=p,则∠AOB为锐角 ③若b=p/2,则y1 y2=-p^2 ④若b=p/2,则x1 x2=-p^2,其
①③正确
①若b=2p,y=x-2p,x=y+2p与y²=2px 联立得：y²-2py-4p²=0（#）
y₁y₂=-4p²,x₁x₂=(y₁y₂)²/(4p²)=4p²
向量OA·向量OB=x₁x₂+y₁y₂=0,则∠AOB=90°
∴①正确
②b=p ,(#)y²-2py-2p²=0（#）
那么 将y₁y₂=-2p²,x₁x₂=(y₁y₂)²/(4p²)=p²
向量OA·向量OB=x₁x₂+y₁y₂=-p²90°
②错误
③b=p/2,（#）为y²-2py-p²=0
y₁y₂=-p²,③ 正确
④在③ x₁x₂=(y₁y₂)²/(4p²)=p²/4
④错误
设直线AP方程为y=k(x+1),与抛物线方程y=x 2;-1联立得 y=k(x+1)=x 2;-1=(x-1)(x+1),约去(x+1) 得点P横坐标Xp=1+k 代入y=x 2;
联立直线、抛物线，得：
x²-(2b+2p)x+b²=0
向量OA·向量OB
=x1x2+y1y2
=x1x2+(x1-b)(x2-b)
=2x1x2-b(x1+x2)+b²
①b=2p
x1x2=b²， x1+x2=2b+2p=3b
向量OA·向量OB = 2b²-3b²...
全部展开
联立直线、抛物线，得：
x²-(2b+2p)x+b²=0
向量OA·向量OB
=x1x2+y1y2
=x1x2+(x1-b)(x2-b)
=2x1x2-b(x1+x2)+b²
①b=2p
x1x2=b²， x1+x2=2b+2p=3b
向量OA·向量OB = 2b²-3b²+b²=0
∴OA⊥OB，即∠AOB=90°
①对
②b=p≠0
x1x2=b²， x1+x2=2b+2p=4b
向量OA·向量OB = 2b²-4b²+b²= -b²
cos∠AOB = (向量OA·向量OB) / (|OA|·|OB|) = -b²/(|OA|·|OB|) ＜0
∴90°＜∠AOB ＜180°
即∠AOB是钝角
②错
③b=p/2，p=2b
x1x2=b²， x1+x2=2b+2p=6b
y1y2=(x1-b)(x2-b)
=x1x2-b(x1+x2)+b²
=b²-6b²+b²
=-4b²= -(2b)² = -p²
③对
④x1x2=b²
④错
∴真命题为①③
收起