求教哥德尔不完备定理和辩证法的关系

求教哥德尔不完备定理和辩证法的关系
求教哥德尔不完备定理和辩证法的关系

求教哥德尔不完备定理和辩证法的关系
马克思从黑格尔通过的论文,对立面和总结.马克思主义辩证法是一种启发.它建议特定的（或通用?）解决问题的方式：总是寻找矛盾和对立的力量参与.马克思主义者来自下面的“本体论”的假设：没有固定的模式或复杂的系统可以存在很长一段时间维持不变启发式.有一天,不可避免地,它将被炸毁其固有的反对势力.
戈德尔的不完备性定理似乎是在对这一假说的证据.事实上,作为一个纯粹的数学结果,这个定理说,没有正式的理论可以同时有力,一致和完整.是固定的推理,自我包含的系统提供足够的理论模型正式?如果是的话,我们到达下面的“辩证”的结论：没有固定的,自足的推理系统可100％完美.这种制度是必然不是很限制的权力（即他们不能表达的原则与感应自然数的概念）,或者它们足够强大,但他们不可避免地导致任何矛盾或不可判定命题.

作为不完备性定理证明思想的一个关键之处在于映射原理的应用，哥德尔是通过一种十分新颖的映射形式来构造他的命题的。映射是数学研究中极为重要的一 种研究方法，其基本思想就是借助一一对应使得某一领域内的对象之间的某种关系得以在另一领域内的对象之间的关系得到表现。哥德尔的方法是：把算术系统（记 为N）中的符号、表达式和表达式的序列都映射为数——通过引进“哥德尔数”而实现了对象的数化手续。这样处理的结果，对于...

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作为不完备性定理证明思想的一个关键之处在于映射原理的应用，哥德尔是通过一种十分新颖的映射形式来构造他的命题的。映射是数学研究中极为重要的一 种研究方法，其基本思想就是借助一一对应使得某一领域内的对象之间的某种关系得以在另一领域内的对象之间的关系得到表现。哥德尔的方法是：把算术系统（记 为N）中的符号、表达式和表达式的序列都映射为数——通过引进“哥德尔数”而实现了对象的数化手续。这样处理的结果，对于数理逻辑和其他有关分支来说，在 研究方法上就提供了一种数字化工具，能够方便地把一些讨论对象（如符号、公式）转换为自然数或自然数的函数，能够用自然数的理论来讨论有关问题。其次，哥 德尔又通过“递归函数”的引进证明了所有元理论中关于表达式的结构性质命题，都可以在算术系统中得到表达。映射原理的应用和递归函数的引进，使元理论中的 命题都映射为了算术系统中的命题，算术系统也因此获得了元数学的意义。
哥德尔在阐述自己的证明思想时说过：“我们可以注意到一个形式系统的公式在形式上都表现为基本符号（变量、逻辑常项、括号或中断号）的一个有限序 列，而且人们容易精确地去指明基本符号的那些有限序列是有意义的公式和那些不是有意义的公式。类似地，从形式的观点看，所谓证明实际上就是公式的一个有限 序列。对于元数学来说，究竟用什么东西来作为基本符号当然是没有关系的。我们不妨就用自然数来作为基本符号，如此，一个公式就是一个自然数的有限序列，而 证明便是一个有限的自然数序列的有限序列。据此，元数学的概念（命题）也就变成了关于自然数或他们的序列的基本概念（命题），从而就可以（至少是部分地） 在（对象）系统本身的符号中得到表示，特别是人们可以证明‘公式’、‘证明’、‘可证公式’等都可在对象系统中加以定义。”
哥德尔按照上述的证明思想，为不完备性定理的证明在对象系统内构造了这样一个命题G，使其元数学的意义为“G是不能证明的”（作为元数学的命题——我们记为G’，这里G’为G的映射。）。

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1.不完备性定理与辩证法
哥德尔定理被许多人解释为是“系统与自身方法之间的矛盾”，完备性与一致性的不相容、一致性与证明的不相容，促使数学家和哲学家都不得不思考：逻辑悖论，真是辨证法所说的那种“对立统一”关系吗？
辩证法——如果它是逻辑的话，那这个逻辑的自身结构应该是什么呢？按照唯物主义的解释，就是“自然界，人类社会，思维过程”，这种概括包括了三个系 统：自然界，人类...

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1.不完备性定理与辩证法
哥德尔定理被许多人解释为是“系统与自身方法之间的矛盾”，完备性与一致性的不相容、一致性与证明的不相容，促使数学家和哲学家都不得不思考：逻辑悖论，真是辨证法所说的那种“对立统一”关系吗？
辩证法——如果它是逻辑的话，那这个逻辑的自身结构应该是什么呢？按照唯物主义的解释，就是“自然界，人类社会，思维过程”，这种概括包括了三个系 统：自然界，人类社会，思维过程。那么，三个系统能够在辩证法的基础上彼此相容吗？如果每一个系统都遵循哥德尔定理的话，那么辩证法所概括的“系统”也必 然遵循这个定理，结果必然是：辩证法本身就是非逻辑的悖论，而这个悖论的内在表现就是无法使自身形式化，因此在“辩证法”中没有实质性的内容，它不能逻辑 地判断一个命题的“真假”，因此无法使人认识真理。
在这里，辩证法遇到了无法解释的自身的悖论。所以，逻辑悖论问题不是“对立统一”的表现，而是“逻辑自身不能证明自身”、“概念自身不能包括概念” 的表现，目前是通过“系统扩张”或者“概念增加”来解决悖论的；但是“系统扩张”与“概念增加”有没有极限呢？到了极限会是什么局面呢？这，似乎是向人类 智慧进行挑战的极其复杂的问题。
2.数学的真理与哲学的真理
塔尔斯基证明了下面的定理：
定理：对于无穷阶的形式语言来说，如果相应的元理论中可证明命题是无矛盾的，那么就不可能在元语言中构造出一个在约定意义下是充分的关于真理的定义。
这是一个关于真理概念的可定义性的定理，值得注意的是塔尔斯基对定理的证明与哥德尔在方法上有类似之处。
真理与命题之间的矛盾，似乎是悖论的必然表现。这个表现的本质在于，证明了“真理”本身的相对性，而“绝对真理”只能建立在体系完备的基础上，哥德 尔定理证明这是不可能的。因此，当人追求“绝对真理”时，就已经偏离了追求“真理”的正确道路，其结果必然是：发现“绝对真理”就是绝对的悖论。
因此，20世纪的哲学终于摆脱了“绝对真理”的庞杂体系，开始了自身的变革。虽然，哲学不再充当“科学的教父”，“意识形态的总司令”，但它自身却变的更加接近真理而远离了谬误。这就是20世纪的数学，对人类文明最大的贡献，其影响也是非常深远的。
哥德尔的这个成果，在应用上确实有条件限制。在人文系统，这个定理的应用是有困难的。例如一个伦理系统，它的完备性性与无矛盾性是不受“形式系统P”的限制的，无论是基督教系统、古兰经系统还是儒教系统，都不存在哥德尔问题。
哥德尔的不完备性定理，首先是针对“形式系统”。只有存在“形式系统”的条件下，才会产生“形式与内容”之间的不相容性问题。理论物理系统作为一个“形式 系统”，终极形式最终会导致“完备性”与“无矛盾性”之间的不相容；所以，理论的发展只能是渐进的、分层次的，这就是为什么爱因斯坦可以超越牛顿却无法取 代牛顿的原因；同样超越爱因斯坦也不意味着取代爱因斯坦，因为包含相对论的形式系统（黎曼几何）在相应的物理内容范围内是无矛盾的，相容的。
还有一个问题至今无法得到解释：就是白矮星的运行速度问题。根据天文观测白矮星的质量是太阳质量的百倍多，但运行速度是光速的2.3倍。尽管根据狭义相对论的参照系理论进行了修正，速度仍然在光速的1.9倍。
当时对这个问题的解释有两种：认为“场”的理论有自身的适用范围，白矮星的运动不遵循“引力场”为基础的广义相对论的规则；还有就是认为观测者所在的参照系与白矮星运动的参照系之间，存在着不一致性。
深入的研究发现，“场”的概念确实有问题，对于大星系来说，光速是个很小的速度。引力波以如此缓慢的速度向对方传递引力，显然是有疑问的。

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