“不完备性定理” 和 “不确定性原理” 二者有没有内在关系?先来瞅瞅什么是“不完备性定理”：从十九世纪到二十世纪三十年代,涌现出大量的新理论解决了一大批十分困难的数学问题.比
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 02:24:14
“不完备性定理” 和 “不确定性原理” 二者有没有内在关系?先来瞅瞅什么是“不完备性定理”：从十九世纪到二十世纪三十年代,涌现出大量的新理论解决了一大批十分困难的数学问题.比
“不完备性定理” 和 “不确定性原理” 二者有没有内在关系?
先来瞅瞅什么是“不完备性定理”：从十九世纪到二十世纪三十年代,涌现出大量的新理论解决了一大批十分困难的数学问题.比如,有一个著名的“理发师悖论”.【在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己理发的人理发,我也只给这些人理发.我对各位表示热诚欢迎!” 来找他理发的人络绎不绝,自然都是那些不给自己理发的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的头发长了,他本能地抓起了剃刀.请问,理发师能不能给他自己理发呢?要是他给自己理的话,那他就自己理了发,根据他的原则,他不应该为自己理发的人理发的； 另一方面,如果要是他不给自己理发的话,根据他的原则,他倒是应该给自己理发的.】 糟糕!我们习以为常的逻辑,在这里失效了!
“不完备性定理” 和 “不确定性原理” 二者有没有内在关系?先来瞅瞅什么是“不完备性定理”：从十九世纪到二十世纪三十年代,涌现出大量的新理论解决了一大批十分困难的数学问题.比
（好了,铺垫了那么多,现在终于可以切入正题了.） 【命题：】如果A、B两个算符存在不确定度关系,则A与B的张量积空间不完备. （为便于理解,在完整证明之前,先证明上述命题的一个简单的特例：) “高斯包”原函数与其傅里叶变换函数的不确定性和不完备性关系 【高斯包特例证明：】 【第一步,高斯包原函数与其傅里叶变换函数,存在不确定度关系】 （高斯包的傅立叶变换后还是高斯包,只是系数改变而已.上面图像画得不太好,应该一个高瘦,一个矮胖） 【第二步,高斯包原函数与其傅里叶变换函数,存在一组共同本征函数exp(ikx) 】 先证明高斯包的傅立叶变换后还是高斯包: 再由： 知：exp(ikx)是高斯包傅立叶变换函 数φ(k)的本证函数 又,由于高斯包的傅立叶变换后还是高斯包,可知exp(ikx)也是高斯包原函数ψ(x)的本证函数 很显然,exp(ikx）既是高斯包原函数的本证函数、同时也是高斯包傅立叶变换函数的本证函数.事实上,高斯包原函数和高斯包傅立叶变换函数,其实都是高斯包.仅仅系数不一样.它们当然具有共同的本证函数.当然也就不奇怪exp(ikx）是其中一个的本证函数,也就肯定是另一个的本证函数. 【第三步,高斯包原函数与其傅里叶变换函数的张量积不完备】 反证：如果高斯包原函数和高斯包傅立叶变换函数的张量积是完备空间,则由 可以推知,存在一组共同本征函数exp(ikx)、且完备的高斯包原函数和高斯包傅立叶变换函数对易,这与上面第一步关于这两个函数存在不确定度关系的结论矛盾. 所以,高斯包原函数与其傅里叶变换函数的张量积不完备. 查看原帖>>