数学题：已知a,b,c为任意三角形的三边,求证1.5
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 14:55:07
数学题：已知a,b,c为任意三角形的三边,求证1.5
数学题：已知a,b,c为任意三角形的三边,求证1.5
数学题：已知a,b,c为任意三角形的三边,求证1.5
设 a+b+c=s
则 原式为 2>a/(s-a)+b/(s-b)+c/(s-c)>=1.5
即求证 2(s-a)(s-b)(s-c)>a(s-b)(s-c)+b(s-a)(s-c)+c(s-a)(s-b)>1.5(s-a)(s-b)(s-c)
即 4(s^3+abs+bcs+acs-abc-s^2(a+b+c))>2s^2a+2abc-2as(b+c)+2s^2b+2abc-2bs(a+c)+2s^2c+2abc-2cs(a+b)>=3(s^3+abs+bcs+acs-abc-s^2(a+b+c))
即 4（abs+bcs+acs-abc）>2a^2s+2b^2s+2c^s+6abc>=3（abs+bcs+acs-abc）
(a-b)^2c+(b-c)^2a+(c-a)^2b>=0
所以 (ab+bc+ac)s>=9abc
由b+c>a c+a>b a+b>c 得
2a^2(b+c)+2b^2(a+c)+2c^2(a+b)>2a^3+2b^3+2c^3
所以4（abs+bcs+acs-abc）
=4a^2b+4ab^2+4abc+4b^2c+4bc^2+4abc+4ac^2+4a^2c+4abc-4abc
>2a^3+2a^2b+2a^2c+2b^3+2b^2a+2b^2c+2c^3+2c^2a+2c^2b+8abc
>2a^2s+2b^2s+2c^s+6abc
2a^2s+2b^2s+2c^2s-(2abs+2bcs+2acs)
=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]s
>=(a-b)^2c+(b-c)^2a+(c-a)^2b
=(ab+bc+ac)s-9abc
所以2a^2s+2b^2s+2c^s+6abc>=3（abs+bcs+acs-abc）
222
a/SinA=b/SinB=c/SinB=k,
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
=SinA/(SinB+SinC)+SinB/(SinA+SinC)+SinC/(SinA+SinB)
因A=π -（B+C），将A由B、C代换，
再用三角公式计算。