证明不是等比数列设数列An、Bn是公比不相等的两个等比数列,Cn＝An＋Bn,求证：数列Cn不是等比数列
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 17:25:07
证明不是等比数列设数列An、Bn是公比不相等的两个等比数列,Cn＝An＋Bn,求证：数列Cn不是等比数列
证明不是等比数列
设数列An、Bn是公比不相等的两个等比数列,Cn＝An＋Bn,求证：数列Cn不是等比数列
证明不是等比数列设数列An、Bn是公比不相等的两个等比数列,Cn＝An＋Bn,求证：数列Cn不是等比数列
证明 ：
用反证法
设Cn是反比数列,
则有Cn+1=A(n+1)+B(n+1)
=An*a+Bn*b
即Cn=(An*a+BN*b)/c
根本已知,Cn=An+Bn
An*a+Bn*b=An*c+Bn*c
a=b=c
这与已知Aa Bb是不同公比数列矛盾,所以Cn不是等比数列
或者：
证明
由题意可设
a(n+1)=qan,b(n+1)=pbn,p≠q
cn=an+bn
c(n+1)=a(n+1)+b(n+1) = qan+pbn
假设：cn/c(n-1) = (qan+pbn)/(an+bn) = k(定值) …①
所以(q-k)an + (p-k)bn = 0
an/bn = (k-p)/(q-k) = (a1/b1)(q/p)^(n-1) 对任意n∈N成立
(q/p)^(n-1) = (b1/a1)[(k-p)/(q-k)] (定值)
从而q/p = 1,但这与p≠q矛盾
所以,①假设不成立,故{cn}不是等比数列
设Cn是公比为q的等比数列，则Cn+1=q*Cn
An+1 + Bn+1=q*(An＋Bn)=q*An＋q*Bn
而An+1=q1*An, Bn+1=q2*Bn
q1*An + q2*Bn =q*An＋q*Bn
An*(q1 - q) + Bn*(q2 - q) = 0,此式对任何An, Bn都成立，故q1 - q ， q2 - q都必须为0，即q=q1=q2,与已知矛盾，故数列Cn不是等比数列