AD是△ABC的角平分线,AB=DC+AC,证明∠C=2∠B

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/15 23:18:51
AD是△ABC的角平分线,AB=DC+AC,证明∠C=2∠BAD是△ABC的角平分线,AB=DC+AC,证明∠C=2∠BAD是△ABC的角平分线,AB=DC+AC,证明∠C=2∠B证明:如图:在AB上

AD是△ABC的角平分线,AB=DC+AC,证明∠C=2∠B
AD是△ABC的角平分线,AB=DC+AC,证明∠C=2∠B

AD是△ABC的角平分线,AB=DC+AC,证明∠C=2∠B
证明:如图:在AB上截取AE=AC,连接DE
则在△ADE和△ADC中:
∵AD是△ABC的角平分线,∴∠DAE=∠DAC
                                               AE=AC
                                               AD为公共边
根据边角边定理可得:△ADE≌△ADC
则有:DE=DC 
又∵已知:AB=DC+AC  且AB=AE+EB
则有DC+AC=AE+EB
又∵   AC=AE
代入上式可得:DC=EB
又∵DE=DC 
∴DE=EB
∴△BDE为等腰三角形
∴∠B=∠EDB
又∵△ADE≌△ADC
∴∠AED=∠C
其中:∠AED为△BDE的一个外交
根据三角形外角定理有:∠AED=∠B+∠EDB=2∠B
最后则可得:=∠C=∠AED=2∠B

在AB上取点E使得AE=AC,则可得到△ACD与△AED全等,所以∠C=∠AED,ED=CD,AE=AC,
又因为AB=DC+AC=AE+BE,所以BE=ED,所以∠B=∠EDB,∠AED=∠B+∠EDB=2∠B ,所以
∠C=2∠B