已知a,b,c为三正数,且a+b+c=12,ab+ac+bc=45,求abc的最大值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 08:39:46
已知a,b,c为三正数,且a+b+c=12,ab+ac+bc=45,求abc的最大值.
已知a,b,c为三正数,且a+b+c=12,ab+ac+bc=45,求abc的最大值.
已知a,b,c为三正数,且a+b+c=12,ab+ac+bc=45,求abc的最大值.
已知a,b,c为三正数,且a+b=12-c,ab=45-(a+b)c=c?-12c+45,由a,b,c为三正数,即 0
因为a+b+c=12
可得出（a+b+c）^2=144，即a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=144
又因为ab+ac+bc=45，所以a^2+b^2+c^2+2×45=144，a^2+b^2+c^2=54
有公式a^2+b^2+c^2≥3abc，abc≤54/3
即abc≤18
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=12^2
a^2+b^2+c^2=144-90=54
abc≤a^2+b^2+c^2
abc≤54
abc最大值为54
CoronaRaY 和 知识VS道德 这两位，怎么得到的a^2+b^2+c^2≥3abc？
这个公式是不成立的，正确的是a^2+b^2+c^2≥3*3次根号下（a^2*b^2*c^2）
等号在a=b=c时取得，但这道题中明显a=b=c是不成立的，所以不能直接用这个不等式来求解
试一试下面的方法：
已知a+b+c=12，故c=12-a-b
代入ab+ac+bc...
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CoronaRaY 和 知识VS道德 这两位，怎么得到的a^2+b^2+c^2≥3abc？
这个公式是不成立的，正确的是a^2+b^2+c^2≥3*3次根号下（a^2*b^2*c^2）
等号在a=b=c时取得，但这道题中明显a=b=c是不成立的，所以不能直接用这个不等式来求解
试一试下面的方法：
已知a+b+c=12，故c=12-a-b
代入ab+ac+bc=45，整理得a^2+ab+b^2-12a-12b+45=0
变形为-b^2+12b-ab=a^2-12a+45 -----(*)
把（*）式看作关于b的二次方程，判别式=-3a^2+24a-36>=0
故2<=a<=6
令t=abc=ab(12-a-b)=a(12b-b^2-ab),根据（*）式，有
t=a(a^2-12a+45)=a^3-12a^2+45a
t对a求导数，t'=3a^2-24a+45,令t'=0,求出极值点a1=3,a2=5
易知a<3或a>5时，t'>0,而3
a=3时，t取得极大值，t0=3^3-12*3^2+45*3=54,此时a=3,由(*)可以算出b=3或b=6,对应的c=6或3
再看5
所以abc的最大值为54,当a=3,b=3,c=6或a=3,b=6,c=3或a=6,b=3,c=3时取得
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