设a,b属于R,且满足a^2+b^2-6a-4b+12=0(1)求a^2+b^2的最大值和最小值(2)求b/a的取值范围(3)求a+2b的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/10/06 14:48:33
设a,b属于R,且满足a^2+b^2-6a-4b+12=0(1)求a^2+b^2的最大值和最小值(2)求b/a的取值范围(3)求a+2b的取值范围
设a,b属于R,且满足a^2+b^2-6a-4b+12=0
(1)求a^2+b^2的最大值和最小值
(2)求b/a的取值范围
(3)求a+2b的取值范围
设a,b属于R,且满足a^2+b^2-6a-4b+12=0(1)求a^2+b^2的最大值和最小值(2)求b/a的取值范围(3)求a+2b的取值范围
平方(a-3)^2+(b-2)^2=1
显然a^2+b^2=t^2>0
2个圆关系显然t和(a-3)^2+(b-2)^2=1外切最小,内切最大
圆心(2 3)到原点 根13
内切半径( 根13)+1 外切半径( 根13)-1 结果平方就得到
2.方法有三个 三角换元
初中b/a=t b=at代入成为a的一元二次方程,判别式>=0解出t范围
高中(b-(-0))/(a-(-0))
即(a b)的斜率,显然下切最小,上切最大
2.方法前2个一样
(1,2)易知a,b>0,则记u=sqrt(a^2+b^2), phi=arctan(b/a), alpha=arctan(2/3)
代入方程于是:u^2-u*2*sqrt(13)cos(phi-alpha)+12=0
该曲线分成两段:一:u=sqrt(13)cos(phi-alpha)+sqrt[ 13cos^2(phi-alpha)-12 ]
易知此段2sqrt(3...
全部展开
(1,2)易知a,b>0,则记u=sqrt(a^2+b^2), phi=arctan(b/a), alpha=arctan(2/3)
代入方程于是:u^2-u*2*sqrt(13)cos(phi-alpha)+12=0
该曲线分成两段:一:u=sqrt(13)cos(phi-alpha)+sqrt[ 13cos^2(phi-alpha)-12 ]
易知此段2sqrt(3)<=u<=sqrt(13)+1。
二:u=sqrt(13)cos(phi-alpha)-sqrt[ 13cos^2(phi-alpha)-12 ]
易知此段sqrt(13)-1<=u<=2sqrt(3)。
于是14-2sqrt(13)<=u^2<=14+2sqrt(13)。
14-2sqrt(13)<=a^2+b^2<=14+2sqrt(13)---------------------------------------------(1)
而cos(phi-alpha)=(u^2+12)/u/2/sqrt(13)>=sqrt(12/13)
于是:-arccos(sqrt(12/13))<=phi-alpha<=arccos(sqrt(12/13))
于是:(3-sqrt(3))/4 = tan[ arctan(2/3)-arccos(sqrt(12/13)) ]<=tan(phi)
<=tan[ arctan(2/3)+arccos(sqrt(12/13)) ] = (3+sqrt(3))/4
(3-sqrt(3))/4<=b/a<=(3+sqrt(3))/4--------------------------------------------------------(2)
(3) 记X=a+2b,Y=2a-b 代入方程则:(X-7)^2+(Y-4)^2=5
所以:-sqrt(5)<=X-7<=sqrt(5)
于是: 7-sqrt(5)<=X<=7+sqrt(5)
7-sqrt(5)<=a+2b<=7+sqrt(5)--------------------------------------------------------------(3)
收起