若x+y=a+b,且x^2+y^2=a^2+b^2,请证明:x^2009+y^2009=a^2009+b^2009
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/23 09:53:59
若x+y=a+b,且x^2+y^2=a^2+b^2,请证明:x^2009+y^2009=a^2009+b^2009
若x+y=a+b,且x^2+y^2=a^2+b^2,请证明:x^2009+y^2009=a^2009+b^2009
若x+y=a+b,且x^2+y^2=a^2+b^2,请证明:x^2009+y^2009=a^2009+b^2009
x+y=a+b
(x+y)^2=(a+b)^2
x^2+y^2+2xy=a^2+b^2+2ab
而:x^2+y^2=a^2+b^2
所以,xy=ab
设:x^n+y^n=a^n+b^n,在n>0时都成立
则:x^(n+1)+y^(n+1)
=(x^n+y^n)(x+y)-(xy^n+x^ny)
=(x^n+y^n)(x+y)-xy(x^(n-1)+y^(n-1))
=(a^n+b^n)(a+b)-ab(a^(n-1)+b^(n-1))
=a^(n+1)+b^(n+1)
n=2008时
x^2009+y^2009=a^2009+b^2009
可以用数学归纳法证明
首先将x+y=a+b两边平方,与x^2+y^2=a^2+b^2联立,可以得到xy=ab
将x^2+y^2=a^2+b^2左边乘上x+y,右边乘上a+b,可以得到x^3+y^3=a^3+b^3
那么假设x^n+y^n=a^n+b^n成立,下面就要证x^(n+1)+y^(n+1)=a^(n+1)+b^(n+1)成立就可以得证
在x^n+y^n=a^...
全部展开
可以用数学归纳法证明
首先将x+y=a+b两边平方,与x^2+y^2=a^2+b^2联立,可以得到xy=ab
将x^2+y^2=a^2+b^2左边乘上x+y,右边乘上a+b,可以得到x^3+y^3=a^3+b^3
那么假设x^n+y^n=a^n+b^n成立,下面就要证x^(n+1)+y^(n+1)=a^(n+1)+b^(n+1)成立就可以得证
在x^n+y^n=a^n+b^n的左边乘上x+y,右边乘上a+b,展开后就可以得到x^(n+1)+y^(n+1)=a^(n+1)+b^(n+1),因此,可以递推,得到x^2009+y^2009=a^2009+b^2009.
收起
x+y=a+b,且x^2+y^2=a^2+b^2
2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)=2ab,xy=ab
那么可得x,y为方程z^2-(a+b)z+ab=0的两根,所以x=a,y=b或者x=b,y=a;
所以x^2009+y^2009=a^2009+b^2009