一个概率论的问题 100分 二维随即变量(ξ,η)服从矩形D={(x,y);0≤x≤2,0≤y≤1}上的均匀分布.U.V见图试求U与V的相关系数并判断U与V是否相关独立我获得答案里是这样的由题意得:P{ξ<=η}=1/4P{ξ>

一个概率论的问题 100分 二维随即变量(ξ,η)服从矩形D={(x,y);0≤x≤2,0≤y≤1}上的均匀分布.U.V见图试求U与V的相关系数并判断U与V是否相关独立我获得答案里是这样的由题意得:P{ξ<=η}=1/4P{ξ>
一个概率论的问题 100分
二维随即变量(ξ,η)服从矩形D={(x,y);0≤x≤2,0≤y≤1}上的均匀分布.
U.V见图
试求U与V的相关系数并判断U与V是否相关独立
我获得答案里是这样的
由题意得:
P{ξ<=η}=1/4
P{ξ>2η}=1/2
P{η<ξ<2η}=1/4
所以P{U=0,V=0}=P{ξ<=η,ξ<=2η}=P{ξ<=η}=1/4
P{U=1,V=0}=P{ξ>η,ξ<=2η}=P{η<ξ<=2η}=1/4
P{U=1,V=1}=1-1/4-1/4 = 1/2
所以EU=1/4 DU=3/16 EV=1/2 DV=1/4 又E(UV)=1/2
所以Cov(U,V)=E(UV)-(EU)(EV)=1/2-3/4*1/2=1/8
 ρ=Cov(U,V)/√￣DU√￣DV=1/3
由于ρ不等于0 所以U与V相关 U与V不独立
和两位的有出入 不知道是不是答案哪里有问题 如果是的请两位指明 谢谢

一个概率论的问题 100分 二维随即变量(ξ,η)服从矩形D={(x,y);0≤x≤2,0≤y≤1}上的均匀分布.U.V见图试求U与V的相关系数并判断U与V是否相关独立我获得答案里是这样的由题意得:P{ξ<=η}=1/4P{ξ>
f(ξ,η)=0.5 0≤ξ≤2,0≤η≤1
E(U)=0.75 D(U)=3/16
E(V)=0.5 D(V)=1/4
U*V = 1 (ξ>2η);
= 0 (其他 )
cov(U,V)=E[(U-0.75)(V-0.5)]
=E(U*V)-E(u)*E(V)=0.125
相关系数=0.577

(ξ,η)的联合分布密度函数f(x,y)满足，
0≤x≤2,0≤y≤1时，f(x,y)=1/2.
x,y取其他值时，f(x,y)=0.
EU = S(0->1)dy S(y->2) 1*f(x,y)dx = S(0->1)dy S(y->2)(1/2)dx
= S(0->1)[(2-y)/2]dy = 1 - 1/4 = 3/4.
EU^2 = S(0->1...

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(ξ,η)的联合分布密度函数f(x,y)满足，
0≤x≤2,0≤y≤1时，f(x,y)=1/2.
x,y取其他值时，f(x,y)=0.
EU = S(0->1)dy S(y->2) 1*f(x,y)dx = S(0->1)dy S(y->2)(1/2)dx
= S(0->1)[(2-y)/2]dy = 1 - 1/4 = 3/4.
EU^2 = S(0->1)dy S(y->2) 1^2*f(x,y)dx = S(0->1)dy S(y->2)(1/2)dx
= S(0->1)[(2-y)/2]dy = 1 - 1/4 = 3/4.
DU = EU^2 - (EU)^2 = 3/4 - (3/4)^2 = 3/16.
EV = S(0->1)dy S(2y->2) 1*f(x,y)dx = S(0->1)dy S(2y->2)(1/2)dx
= S(0->1)(1-y)dy = 1 - 1/2 = 1/2.
EV^2 = S(0->1)dy S(2y->2) 1^2*f(x,y)dx = S(0->1)dy S(2y->2)(1/2)dx
= S(0->1)(1-y)dy = 1 - 1/2 = 1/2.
DV = EV^2 - (EV)^2 = 1/2 - (1/2)^2 = 1/4.

E[UV] = S(0->1)dy S(2y->2) 1*1*f(x,y)dx = S(0->1)dy S(2y->2)(1/2)dx
= S(0->1)(1-y)dy = 1 - 1/2 = 1/2.
U与V的相关系数 = {E[UV] - EU*EV}/[DU*DV]^(1/2) = {1/2 - 3/4*1/2}/[3/16*1/4]^(1/2) = {1/8}/{3^(1/2)/8} = 3^(1/2)/3
因
E[UV]=1/2,EU=3/4,EV=1/2,
EU*EV=3/4*1/2=3/8不等于E[UV].
因此，U与V不是相互独立的。

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