若函数 y=(1+sinx)^10+(1-sinx)^10,x在[-派/2,派/2] ,则其最大值为 _____?但是我看答案是1/2，和你们给的答案都不同
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 03:41:09
若函数 y=(1+sinx)^10+(1-sinx)^10,x在[-派/2,派/2] ,则其最大值为 _____?但是我看答案是1/2，和你们给的答案都不同
若函数 y=(1+sinx)^10+(1-sinx)^10,x在[-派/2,派/2] ,则其最大值为 _____?
但是我看答案是1/2，和你们给的答案都不同
若函数 y=(1+sinx)^10+(1-sinx)^10,x在[-派/2,派/2] ,则其最大值为 _____?但是我看答案是1/2，和你们给的答案都不同
x=π/2-a
x在[-π/2,π/2]
a在[π,0]
y=(1+sinx)^10+(1-sinx)^10
=(1+cosa)^10+(1-cosa)^10
=2^10*[(cos(a/2))^20+(sin(a/2))^20]
≤2^10
最大值2^10
令sinx=t,则t属于[-1,1]
y=(1+sinx)^10+(1-sinx)^10
=(1+t)^10+(1-t)^10
y'=10(1+t)^9-10(1-t)^9=0
可得唯一驻点t=0
由实际情况知最大值存在必在内部取得,所以
t=0时有最大值y=2
换元。可设sinx=t.由-π/2≤x≤π/2可知，
-1≤sinx≤1.
∴-1≤t≤1.
∴1+t≥0,且1-t≥0.
此时y=(1+t)^10+(1-t)^10
∵2^10=[(1+t)+(1-t)]^10
=∑C(10,r)×(1+t)^r×(1-t)^(10-r), (r=0,1,2,3,,,,1...
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换元。可设sinx=t.由-π/2≤x≤π/2可知，
-1≤sinx≤1.
∴-1≤t≤1.
∴1+t≥0,且1-t≥0.
此时y=(1+t)^10+(1-t)^10
∵2^10=[(1+t)+(1-t)]^10
=∑C(10,r)×(1+t)^r×(1-t)^(10-r), (r=0,1,2,3,,,,10)
=(1+t)^10+(1-t)^10+∑C(10,r)×(1+t)^r×(1-t)^(10-r) (r=1,2,3,,,,9)
显然∑C(10,r)×(1+t)^r×(1-t)^(10-r)≥0.(r=1,2,3,,,9)
∴y≤2^10.
等号仅当t=-1或1时取得。
∴ymax=2^10.
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