1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³+10³+11³+12³+

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书籍,是知识的宝库,它使人类的知识不断积累、发展；使愚者变得博学多才.也正是它,使我不断充实自己,给我的生活带来了无限的快乐与希望.
在我还不认识一个字的时候,我与书已结下了不解之缘.小的时候,奶奶常给我讲故事,我每次都要听上三到四遍才肯罢休,所以才闹出一个又一个的笑话.
知识改变命运.随着年龄的增长,识字的增多,我终于可以自己读书了,这是一件!每当我茕茕孑立在房间时,在可口美味的食物的伴随之下,钻到书堆中,去寻找更多的知识,满足我求知的欲望.那种快乐,只有在书中才能体验到,它是一种不可缺少的精神食粮.
最初,我陶醉于《格林童话》和《安徒生童话》中,多么动人心弦的故事和善良美丽的人物形象啊!从《钢铁是怎样炼成的》到《世界名人传记精粹》,在那千百次顽强拼搏中,我强烈感悟到生命的意义.漫画《三毛流浪记》的主人翁“三毛”让我更加感受到自己今天的幸福生活来之不易,它们时刻鞭策着我朝着理想的努力目标奋斗.
渐渐地,我的兴趣转向了科学读物,从我接触到的第一本知识丛书《十万个为什么》中,我不知解开了心中多少个问号,见识到多少新鲜的知识,领悟到：要增长知识,寻求真理,就必须“凡事要问为什么”才是我们打开知识大门的金钥匙.接着就读到《百科全书》等,无一不令我受益匪浅.应该说,如果没有怀疑的心态,就没有闯进科学大门的勇气.
书,是我最亲密的朋友,是我最要好的无声老师,它帮助我解决生活与学习上的问题,也给我知识,它给我力量.知识就象大海,无边无际的.在我生命中,书就像一条船,载我远航,带我去寻找知识的胜利彼岸.书,还让我到广袤的科学领域去开垦、发现有关人类的奥秘!这一切,怎能说不是书的恩赐呢?
这就是我与书的故事.

我们知道：

  0次方和的求和公式∑N^0＝N 即1^0+2^0+...+n^0=n

  1次方和的求和公式∑N^1＝N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2

  2次方和的求和公式∑N^2＝N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

  取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1

  系数可由杨辉三角形来确定

  那么就得出：

  (N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

  N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

  (N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

  ...................

  2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

  .

  于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

  左边=(N+1)^4-1

  右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

  所以呢

  把以上这已经证得的三个公式代入

  4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

  得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

  移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

  等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

  即

  1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2