已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,Sn＝[（an＋1）/2]²,n∈N*,bn＝（－1）∧n×Sn,求数列bn的前n项和Tn.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/07 01:44:53
已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,Sn＝[（an＋1）/2]²,n∈N*,bn＝（－1）∧n×Sn,求数列bn的前n项和Tn.
已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,Sn＝[（an＋1）/2]²,n∈N*,bn＝（－1）∧n×Sn,求数列bn的前n项和Tn.
已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,Sn＝[（an＋1）/2]²,n∈N*,bn＝（－1）∧n×Sn,求数列bn的前n项和Tn.
n=1时,
a1=S1=[(a1+1)/2]²
(a1-1)²=0
a1=1
n≥2时,an=Sn-S(n-1)=[(an +1)/2]²-[(a(n-1)+1)/2]²
整理,得
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
an=-a(n-1)或an-a(n-1)=2
an=-a(n-1)时,an/a(n-1)=-1,为定值,数列{an}是以1为首项,-1为公比的等比数列.
an-a(n-1)=2时,2为定值,数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列
an=1+2(n-1)=2n-1
a(n+1)/an=(2n+1)/(2n-1)=(2n-1+2)/(2n-1)=1+ 2/(2n-1)与n取值有关,不是等比数列,与已知不符.
综上,得数列{an}是以1为首项,-1为公比的等比数列.
Sn=1·[1-(-1)]ⁿ/[1-(-1)]=[1-(-1)ⁿ]/2
bn=(-1)ⁿ·Sn=(-1)ⁿ·[1-(-1)]ⁿ/2=[(-1)ⁿ-1]/2=(-1)ⁿ/2 -1/2
Tn=b1+b2+...+bn
=(-1)/2+(-1)²/2+...+(-1)ⁿ/2 -n/2
=(-1/2)[1-(-1)ⁿ]/[1-(-1)] -n/2
=[(-1)ⁿ-2n-1]/4