数列{an}{bn}满足bn=a1+2a2+3a3+…+nan/(1+2+3+…+n),若数列{an}为等差数列,求证；{bn}为等差数列.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 11:26:53
数列{an}{bn}满足bn=a1+2a2+3a3+…+nan/(1+2+3+…+n),若数列{an}为等差数列,求证；{bn}为等差数列.
数列{an}{bn}满足bn=a1+2a2+3a3+…+nan/(1+2+3+…+n),若数列{an}为等差数列,求证；{bn}为等差数列.
数列{an}{bn}满足bn=a1+2a2+3a3+…+nan/(1+2+3+…+n),若数列{an}为等差数列,求证；{bn}为等差数列.
这个应该不难.
设 an=a1+(n-1)d,其中d为数列｛an｝的公差,
代入可得
bn=[(a1+2a1+...+na1)+(1*2+2*3+...+(n-1)n)d]/(1+2+...+n) ,
由于 1*2+2*3+.+(n-1)n=(n-1)n(n+1)/3 ,1+2+.+n=n(n+1)/2 ,
因此 bn=[a1*n(n+1)/2+d(n-1)n(n+1)/3]/[n(n+1)/2]=a1+(n-1)*2d/3 ,
所以 ｛bn｝是以 a1 为首项,2d/3 为公差的等差数列 .
还差一问
证：
数列{an}是等差数列，设公差为d。
an=a1+(n-1)d
nan=na1+n(n-1)d
a1+2a2+3a3+...+nan
=(1+2+...+n)a1+[1×2+2×3+...+n(n-1)]d
=n(n+1)a1/2+[(2-1)×2+(3-1)×3+...+(n-1)n]d
=n(n+1)a1/2+[(2²+3...
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证：
数列{an}是等差数列，设公差为d。
an=a1+(n-1)d
nan=na1+n(n-1)d
a1+2a2+3a3+...+nan
=(1+2+...+n)a1+[1×2+2×3+...+n(n-1)]d
=n(n+1)a1/2+[(2-1)×2+(3-1)×3+...+(n-1)n]d
=n(n+1)a1/2+[(2²+3²+...+n²)-(2+3+...+n)]d
=n(n+1)a1/2+[(1²+2²+3²+...+n²)-(1+2+3+...+n)]d
=n(n+1)a1/2+[n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2]d
=[n(n+1)/2][a1+2(n-1)d/3]
=(1+2+3+...+n)[a1+2(n-1)d/3]
bn=(a1+2a2+3a3+...+nan)/(1+2+3+...+n)
=(1+2+3+...+n)[a1+2(n-1)d/3]/(1+2+3+...+n)
=a1+2(n-1)d/3
=a1+(n-1)(2d/3)
b1=a1/1=a1
bn-b(n-1)=[a1+(n-1)(2d/3)]-[a1+(n-2)(2d/3)]=2d/3，为定值。
数列{bn}是以a1为首项，2d/3为公差的等差数列。
注：2d/3就是三分之二d。
收起
可用等差数列定义喔。证明bn-bn_1=定值就ok
这个好证，把an公差d设出来，分母是等差的利用求和公式表达出来，分子可以变成一个关于a1
，n和d的式子，这样bn的通项就出来了 再利用等差数列的性质就可以解出答案