一道关于高中充要条件的证明题设f(x)=ax^2+bx+c,求证：“对一切整数n,f(n)都为整数”的充要条件是“2a,a+b,c都为整数”
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 05:55:18
一道关于高中充要条件的证明题设f(x)=ax^2+bx+c,求证：“对一切整数n,f(n)都为整数”的充要条件是“2a,a+b,c都为整数”
一道关于高中充要条件的证明题
设f(x)=ax^2+bx+c,求证：“对一切整数n,f(n)都为整数”的充要条件是“2a,a+b,c都为整数”
一道关于高中充要条件的证明题设f(x)=ax^2+bx+c,求证：“对一切整数n,f(n)都为整数”的充要条件是“2a,a+b,c都为整数”
必要性是显然的：
这是由于f(0)=c是整数.
f(1)=a+b+c是整数,而c是整数,所以a+b也是整数.
f(2)=4a+2b+c是整数,而c和2a+2b是整数,所以2a也是整数.
下面证明充分性：
与必要性的证明相联系,考虑将f(n)=an²+bn+c表示为f(0)、f(1)与f(2)的线性组合的形式,
设f(n)=pf(2)+qf(1)+rf(0),解得p=n(n-1)/2,q=n(2-n),r=(n-2)(n-1)/2.
p、q、r均为整数,又由必要性的讨论知当2a、a+b、c均为整数时f(0)、f(1)、f(2)均为整数,所以f(n)也为整数.
充分性:若2a，a+b，c都为整数，则a、b同为偶数或被偶数乘后为偶数，c为偶数，则f(n)，当n为奇数或偶数时，fn)为整数是显然的；
但必要性好像不对啊，若f(n)为整数，如：令n=1，则f（1）=a+b+c，那我令a=1.1，b=1,1，
c=0.8，显然他不满足“2a，a+b，c都为整数”。
故，对一切整数n，f(n)都为整数”的“充分条件”（而非冲要）是“2a，a...
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充分性:若2a，a+b，c都为整数，则a、b同为偶数或被偶数乘后为偶数，c为偶数，则f(n)，当n为奇数或偶数时，fn)为整数是显然的；
但必要性好像不对啊，若f(n)为整数，如：令n=1，则f（1）=a+b+c，那我令a=1.1，b=1,1，
c=0.8，显然他不满足“2a，a+b，c都为整数”。
故，对一切整数n，f(n)都为整数”的“充分条件”（而非冲要）是“2a，a+b，c都为整数。
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