已知正项等比数列{an}中,对任意的n∈N+,都有lga1+lga2+lga3+……+lgan=n^2+n求{an}的通项公式
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 08:10:53
已知正项等比数列{an}中,对任意的n∈N+,都有lga1+lga2+lga3+……+lgan=n^2+n求{an}的通项公式
已知正项等比数列{an}中,对任意的n∈N+,都有lga1+lga2+lga3+……+lgan=n^2+n
求{an}的通项公式
已知正项等比数列{an}中,对任意的n∈N+,都有lga1+lga2+lga3+……+lgan=n^2+n求{an}的通项公式
lga1+lga2+...+lgan=lg(a1·a2·a3····an)=n^2+n=>a1·a2·a3····an=e^(n^2+n)
所以a1·a2·a3····a(n-1)= e^((n-1)^2+n-1)
上下两式相除得 an=[e^(n^2+n)]/[e^((n-1)^2+n-1)] =e^(2n)
lga1+lga2+lga3+……+lgan=n^2+n
lg(a1*a2*......an)=lg10^(n^2+n)
a1*a2*......an=10^(n^2+n) ①
所以a1·a2·a3····a(n-1)= 10^((n-1)^2+n-1) ②
①/②an=10^(2n)
令n=1,得lga1=2,即a1=20
lga1+lga2+lga3+……+lgan=n^2+n
lga1+lga2+lga3+……+lgan-1=(n-1)^2+n-1
相减得lgan-lgan-1=2n,即an/an-1=10^(2n)
于是an=100^n an-1=……=100^(n+n-1+n-2+……+2)a1
=2*10^(n^2+n-1)