过三角形ABC内一点P,作DE平行于BC交AB,AC于点D,E,作GF平行于AC交AB,BC于G,F,作HK平行于AB交BC,AC于H,K,则DE/BC+FG/CA+KH/AB的比值是______?

过三角形ABC内一点P,作DE平行于BC交AB,AC于点D,E,作GF平行于AC交AB,BC于G,F,作HK平行于AB交BC,AC于H,K,则DE/BC+FG/CA+KH/AB的比值是______?
过三角形ABC内一点P,作DE平行于BC交AB,AC于点D,E,作GF平行于AC交AB,BC于G,F,作HK平行于AB交BC,AC于H,K,则DE/BC+FG/CA+KH/AB的比值是______?

过三角形ABC内一点P,作DE平行于BC交AB,AC于点D,E,作GF平行于AC交AB,BC于G,F,作HK平行于AB交BC,AC于H,K,则DE/BC+FG/CA+KH/AB的比值是______?
FG/CA=BF/BC
KH/AB=KC/BC
DE/BC=(BK+FC)/BC
∴DE/BC+FG/CA+KH/AB=(BF+KC+BK+FC)/BC=2

2

3/2

因为DE平行于BC 所以DE/BC=AD/AB
因为GF平行于AC，所以FG/CA=BG/AB
因为DE平行于BC ，HK平行于AB 所以四边形BKPD为平行四边形，所以KP=BD
同理HP=AG
所以HK=HP+KP=BD+AG
所以DE/BC+FG/CA+KH/AB=AD/AB+BG/AB+KH/AB=AD/AB+BG/AB+（BD+AG）/AB=2

过B做BM∥FG，与HK的延长线交于M
∵GF∥AC HK∥AB DE∥AC
∴四边形AGPH、ABMH、DBKP是平行四边形
DE/BC=AD/AB GF/AC=BG/AB
∴AB=HM AH=GP=BM DP=BK ∠BDP=∠BKP
∵∠GDP=180°-∠BDP
∠BKM=180°-∠BK...

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过B做BM∥FG，与HK的延长线交于M
∵GF∥AC HK∥AB DE∥AC
∴四边形AGPH、ABMH、DBKP是平行四边形
DE/BC=AD/AB GF/AC=BG/AB
∴AB=HM AH=GP=BM DP=BK ∠BDP=∠BKP
∵∠GDP=180°-∠BDP
∠BKM=180°-∠BKP
∴∠GDP=∠BKM
在△GDP和△BKM中
GP=BM DP=BK
∠GDP=∠BKM
∴△GDP≌△BKM
∴DG=MK
∴HM=KH+MK=DG+KH=AB
∵BG=BD+DG
AD+BD=AB
∴DE/BC+FG/CA+KH/AB
=AD/AB +BG/AB+KH
=AD/AB+(BD+DG)/AB+KH/AB
=(AD+BD+DG)/AB+KH/AB
=(AB+DG)/AB+KH/AB
=1+DG/AB+KH/AB
=1+(DG+KH)/AB
=1+(MK+KH)/AB
=1+HM/AB
=1+AB/AB
=1+1
=2

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DE/BC+FG/CA+KH/AB
= DE/BC+BF/BC+CK/BC-----FG/CA=BF/BC(BFG相似BCA)---KH/AB=CK/BC(CKH相似 CBA)
=DE/BC+(BF+CF)/BC
=DE/BC+(BC+KF)/BC
=DE/BC+1+KF/BC---------DE/BC=AE/AC(ADE 相似ABC)
=AE/AC+1+...

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DE/BC+FG/CA+KH/AB
= DE/BC+BF/BC+CK/BC-----FG/CA=BF/BC(BFG相似BCA)---KH/AB=CK/BC(CKH相似 CBA)
=DE/BC+(BF+CF)/BC
=DE/BC+(BC+KF)/BC
=DE/BC+1+KF/BC---------DE/BC=AE/AC(ADE 相似ABC)
=AE/AC+1+FO/AC---------KF/BC=FO/AC(OKF 相似ABC)
=(AE+FO)/AC+1--------------------FO=EC
=(AE+EC)/AC+1
=2
主要是利用三角形相似的原理(希望有帮助)

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∵PF//CE、PE//FC， ∴四边形PFCE是平行四边形， ∴PE=FC。
同理也可证四边形BKPD是平行四边形， ∴∠B=∠DPK ，又∵∠DPK=∠HPE，∴ ∠B=∠HPE。 又∵DE//BC、HK//AB，∴ ∠AED=∠ACB、∠CHK=∠CAB

在△HPE与△ABC中，∠B=∠HPE、∠AED=∠ACB、∠CHK=∠CAB，∴△HPE∽△ABC，∴HE...

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∵PF//CE、PE//FC， ∴四边形PFCE是平行四边形， ∴PE=FC。
同理也可证四边形BKPD是平行四边形， ∴∠B=∠DPK ，又∵∠DPK=∠HPE，∴ ∠B=∠HPE。 又∵DE//BC、HK//AB，∴ ∠AED=∠ACB、∠CHK=∠CAB

在△HPE与△ABC中，∠B=∠HPE、∠AED=∠ACB、∠CHK=∠CAB，∴△HPE∽△ABC，∴HE/PE=AC/BC ∵ PE=FC， ∴HE/FC=AC/BC，变形得HE/AC-FC/BC=0
∵ DE//BC， ∴DE/BC=AE/AC，同理可得：FG/CA=BF/BC、KH/AB=CH/AC
即DE/BC+FG/CA+KH/AB=AE/AC+CH/AC+BF/BC=(AE+CH)/AC+(BC-FC)/BC=(AC+HE)/AC+(BC-FC)/BC=1+HE/AC+1-FC/BC=2+HE/AC-FC/BC=2

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