二重积分化极坐标的化法`

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/29 10:32:48
二重积分化极坐标的化法`二重积分化极坐标的化法`二重积分化极坐标的化法`确定θ的范围是由极点(原点)引射线穿过积分区域,来看θ的最大范围.本题,你会画图,那就试试,θ的范围就是Pi/4到3Pi/4,因

二重积分化极坐标的化法`
二重积分化极坐标的化法
`

二重积分化极坐标的化法`
确定θ的范围是由极点(原点)引射线穿过积分区域,来看θ 的最大范围.
本题,你会画图,那就试试,θ 的范围就是 Pi/4 到 3Pi/4,
因为你引射线的时候,边界一条是 y=x,一条是(原点处的切线) y= - x .
注意:计算二重积分、三重积分时,画图对确定积分限是很有帮助的.
排除θ = 7Pi/4,因为已知 y>=x .

极坐标系下,直线x=1的方程是ρcosθ=1,即ρ=1/cosθ。射线y=x的方程是θ=π/4。
确定θ的取值范围:积分区域夹在射线θ=0与θ=π/4之间,所以θ的取值范围是 0≤θ≤π/4。
确定ρ的取值范围:从极点作射线与直线ρ=1/cosθ相交,所以ρ的取值范围是 0≤ρ≤1/cosθ。
所以,二重积分在极坐标系下表示为:∫0~π/4 dθ ∫0~1/cosθ ...

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极坐标系下,直线x=1的方程是ρcosθ=1,即ρ=1/cosθ。射线y=x的方程是θ=π/4。
确定θ的取值范围:积分区域夹在射线θ=0与θ=π/4之间,所以θ的取值范围是 0≤θ≤π/4。
确定ρ的取值范围:从极点作射线与直线ρ=1/cosθ相交,所以ρ的取值范围是 0≤ρ≤1/cosθ。
所以,二重积分在极坐标系下表示为:∫0~π/4 dθ ∫0~1/cosθ f(ρcosθ,ρsinθ) ρdρ

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积分区域是上半圆,其边界曲线之一为射线y=x,即θ=π/4,
边界曲线之二是上半圆弧,它在原点处的切线的极角θ=3π/4.
于是关于θ的积分区间是[π/4,3π/4].
By the way,如果积分区域是下半圆,边界曲线之二是下半圆弧,它在原点处的切线的极角θ=7π/4,即θ=-π/4.这时关于θ的积分区间是[-π/4,π/4].原点处的切线?为啥要求切线?θ范围就是积分...

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积分区域是上半圆,其边界曲线之一为射线y=x,即θ=π/4,
边界曲线之二是上半圆弧,它在原点处的切线的极角θ=3π/4.
于是关于θ的积分区间是[π/4,3π/4].
By the way,如果积分区域是下半圆,边界曲线之二是下半圆弧,它在原点处的切线的极角θ=7π/4,即θ=-π/4.这时关于θ的积分区间是[-π/4,π/4].

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