二重积分化极坐标的化法`
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 04:13:38
二重积分化极坐标的化法`
二重积分化极坐标的化法
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二重积分化极坐标的化法`
确定θ的范围是由极点（原点）引射线穿过积分区域,来看θ 的最大范围.
本题,你会画图,那就试试,θ 的范围就是 Pi/4 到 3Pi/4,
因为你引射线的时候,边界一条是 y=x,一条是(原点处的切线) y= - x .
注意：计算二重积分、三重积分时,画图对确定积分限是很有帮助的.
排除θ = 7Pi/4,因为已知 y>=x .
极坐标系下，直线x＝1的方程是ρcosθ＝1，即ρ＝1/cosθ。射线y＝x的方程是θ＝π/4。
确定θ的取值范围：积分区域夹在射线θ＝0与θ＝π/4之间，所以θ的取值范围是 0≤θ≤π/4。
确定ρ的取值范围：从极点作射线与直线ρ＝1/cosθ相交，所以ρ的取值范围是 0≤ρ≤1/cosθ。
所以，二重积分在极坐标系下表示为：∫0～π/4 dθ ∫0～1/cosθ ...
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极坐标系下，直线x＝1的方程是ρcosθ＝1，即ρ＝1/cosθ。射线y＝x的方程是θ＝π/4。
确定θ的取值范围：积分区域夹在射线θ＝0与θ＝π/4之间，所以θ的取值范围是 0≤θ≤π/4。
确定ρ的取值范围：从极点作射线与直线ρ＝1/cosθ相交，所以ρ的取值范围是 0≤ρ≤1/cosθ。
所以，二重积分在极坐标系下表示为：∫0～π/4 dθ ∫0～1/cosθ f(ρcosθ，ρsinθ) ρdρ
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积分区域是上半圆，其边界曲线之一为射线y=x,即θ=π/4，
边界曲线之二是上半圆弧，它在原点处的切线的极角θ=3π/4.
于是关于θ的积分区间是[π/4，3π/4].
By the way，如果积分区域是下半圆，边界曲线之二是下半圆弧，它在原点处的切线的极角θ=7π/4，即θ=-π/4.这时关于θ的积分区间是[-π/4，π/4].原点处的切线？为啥要求切线？θ范围就是积分...
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积分区域是上半圆，其边界曲线之一为射线y=x,即θ=π/4，
边界曲线之二是上半圆弧，它在原点处的切线的极角θ=3π/4.
于是关于θ的积分区间是[π/4，3π/4].
By the way，如果积分区域是下半圆，边界曲线之二是下半圆弧，它在原点处的切线的极角θ=7π/4，即θ=-π/4.这时关于θ的积分区间是[-π/4，π/4].
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