已知数列{log2^(an+1)}(n∈N)为等差数列,且a1=1,a3=7.求(1)求数列{an}的通项公式(2)数列{an}的前n项和Sn
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 13:39:11
已知数列{log2^(an+1)}(n∈N)为等差数列,且a1=1,a3=7.求(1)求数列{an}的通项公式(2)数列{an}的前n项和Sn
已知数列{log2^(an+1)}(n∈N)为等差数列,且a1=1,a3=7.求(1)求数列{an}的通项公式(2)数列{an}的前n项和Sn
已知数列{log2^(an+1)}(n∈N)为等差数列,且a1=1,a3=7.求(1)求数列{an}的通项公式(2)数列{an}的前n项和Sn
(1)设bn=log2(an+1),则{bn}为等差数列,又a1=1,a3=7,所以b1=log2(1+1)=1,b2=log(7+1)=3,
所以公差d=1.所以bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)=n,因此,log2(an+1)=n,所以an+1=2^n,即an=2^n-1.
(2)数列{an}是由等比数列{2^n}与常数列组成.所以Sn=2(2^n-1)/(2-1)-n=2^(n+1)-2-n.
n≥2时，a[n]=s[n]-s[n-1],
将它代入an= 2Sn^2/2Sn-1 ，并化简，得
1/s[n]=1/s[n-1] 2 （n≥2）
上式表明{1/s[n]}是以1/s[1]=1/a[1]=1 为首项，2为公差的等差数列
所以1/s[n]=2n-1,s[n]=1/(2n-1) （n≥1）
故n=1时，a[1]=1;
n≥2时，a[n]...
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n≥2时，a[n]=s[n]-s[n-1],
将它代入an= 2Sn^2/2Sn-1 ，并化简，得
1/s[n]=1/s[n-1] 2 （n≥2）
上式表明{1/s[n]}是以1/s[1]=1/a[1]=1 为首项，2为公差的等差数列
所以1/s[n]=2n-1,s[n]=1/(2n-1) （n≥1）
故n=1时，a[1]=1;
n≥2时，a[n]=s[n]-s[n-1]
=1/(2n-1)-1/(2n-3)
=-2/[(2n-1)(2n-3)]
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