在三角形ABC中,AB大于ACAD垂直BC于D,Q为AD上任意一点,求证QB-QC大于AB-AC有辅助线的
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 17:31:15
在三角形ABC中,AB大于ACAD垂直BC于D,Q为AD上任意一点,求证QB-QC大于AB-AC有辅助线的
在三角形ABC中,AB大于ACAD垂直BC于D,Q为AD上任意一点,求证QB-QC大于AB-AC
有辅助线的
在三角形ABC中,AB大于ACAD垂直BC于D,Q为AD上任意一点,求证QB-QC大于AB-AC有辅助线的
证明:延长BQ,交AC于E,则AB+AE>BE.
即AB+AE>BQ+QE;-----------(1)
同理:QE+EC>QC.------------(2)
(1)+(2),得:AB+(AE+EC)+QE>BQ+QC+QE,故AB+AC>BQ+QC,(AB+AC)/(QB+QC)>1.
AD垂直BC,则:AB²-AC²=(BD²+AD²)-(CD²+AD²)=BD²-CD²;
同理可知:QB²-QC²=(BD²+QD²)-(CD²+QD²)=BD²-CD².
∴AB²-AC²=QB²-QC²,即(AB+AC)*(AB-AC)=(QB+QC)*(QB-QC).
(QB-QC)/(AB-AC)=(AB+AC)/(QB+QC)>1.故QB-QC>AB-AC.
在Rt三角形BDA中AB*AB=AD*AD+BD*BD; (1)
Rt BQD QB*QB=QD*QD+BD*BD; (2)
Rt ACD AC*AC=AD*AD+DC*DC; (3)
Rt CQD CQ*CQ=QD*QD+DC*DC; (4)
(3)-(1):AB*AB-AC*AC=BD*BD-DC*DC
...
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在Rt三角形BDA中AB*AB=AD*AD+BD*BD; (1)
Rt BQD QB*QB=QD*QD+BD*BD; (2)
Rt ACD AC*AC=AD*AD+DC*DC; (3)
Rt CQD CQ*CQ=QD*QD+DC*DC; (4)
(3)-(1):AB*AB-AC*AC=BD*BD-DC*DC
AB*AB-BD*BD=AC*AC-DC*DC;(5)
(4)-(2): 同理得：QB*QB-BD*BD=QC*QC-CD*CD;(6)
(5)-(6)得： AB*AB-QB*QB=AC*AC-QC*QC
AB*AB-AC*AC=QB*QB-QC*QC
(AB+AC)(AB-AC)=(QB+QC)(QB-QC)
因为AB+AC>QB+QC,
所以QB-QC>AB-AC
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