如果x和y是两个n维非零实列向量,怎么证明det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y,X^T代表x的转置从特征值和特征向量方面分析？
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 00:45:44
如果x和y是两个n维非零实列向量,怎么证明det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y,X^T代表x的转置从特征值和特征向量方面分析？
如果x和y是两个n维非零实列向量,怎么证明det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y,X^T代表x的转置
从特征值和特征向量方面分析？
如果x和y是两个n维非零实列向量,怎么证明det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y,X^T代表x的转置从特征值和特征向量方面分析？
可以直接计算的.
设X^T=(x1,x2,...,xn),Y^T=(y1,y2,...,yn),
An=det（E+X*Y^T）
1+x1y1 x1y2 x1y3 ...x1yn
x2y1 1+x2y2 x2y3 ....x2yn 按第1列分成两个行列式
= x3y1 x3y2 1+x2y3 .x3yn
.
xny1 xny2 xny3 .1+xnyn
1 x1y2 x1y3 .....x1yn x1y1 x1y2 x1y3 ...x1yn
0 1+x2y2 x2y3 ....x2yn x2y1 1+x2y2 x2y3 ....x2yn
= 0 x3y2 1+x2y3 .x3yn + x3y1 x3y2 1+x2y3 .x3yn
..
0 xny2 xny3 .1+xnyn xny1 xny2 xny3 .1+xnyn
对第1个行列式按1列展开后的n-1阶行列式,与原来的的An结构一样,记为A(n-1)
对第2个行列式,第1列提个y1出来后,将第1列乘以-y2,-y3,...,-yn,分别加入第2,3,...n列.得一个三角形行列式,计算其值为x1y1(对角线上的元素为x1,1,1,.,1)
这样：An=A(n-1)+x1y1=A(n-2)+x1y1+x2y2,
一直下去,注意最后一个行列式A1=1+xnyn
于是：An=1+x1y1+x2y2+...+xnyn=1+X^T*Y.
即：det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y
1楼的回答挺好的，但如果非要从特征值方面考虑的话，是这样（一下就出来结果了）：
我用 ' 代替转置了，容易写一点儿。
考察矩阵 -XY' 的特征方程：det(λE+XY')
我们下面用别的方法找出 -XY' 的 n 个特征值和特征向量。
（1）-XY' 是个秩为 1 的矩阵，也就是它的零空间是 n-1 维的，所以 0 是它的特征值，且对应 n-1 个线性无关的特征向...
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1楼的回答挺好的，但如果非要从特征值方面考虑的话，是这样（一下就出来结果了）：
我用 ' 代替转置了，容易写一点儿。
考察矩阵 -XY' 的特征方程：det(λE+XY')
我们下面用别的方法找出 -XY' 的 n 个特征值和特征向量。
（1）-XY' 是个秩为 1 的矩阵，也就是它的零空间是 n-1 维的，所以 0 是它的特征值，且对应 n-1 个线性无关的特征向量。
（2）(-XY') X = -X (Y'X)，所以 -Y'X 是一个特征值，对应的特征向量是 X 。
综上，det(λE+XY') = λ^(n-1) * (λ+Y'X)
带入λ=1，就得到了你想要的结果。
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这是个秩为1的实对称矩阵的情况.
设 A=XY^T
由X,Y非零知 r(A) <= r(X) = 1
且 A≠0 得 r(A)>=1
故 r(A) = 1.
A 的特征值为 X^TY = Y^TX, 0,...,0
所以 E+A 的特征值为 1+X^TY, 1,...,1
而方阵的行列式等于其所有特征值之积
所以有 det...
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这是个秩为1的实对称矩阵的情况.
设 A=XY^T
由X,Y非零知 r(A) <= r(X) = 1
且 A≠0 得 r(A)>=1
故 r(A) = 1.
A 的特征值为 X^TY = Y^TX, 0,...,0
所以 E+A 的特征值为 1+X^TY, 1,...,1
而方阵的行列式等于其所有特征值之积
所以有 det (E+A) = 1+X^TY.
前段时间帐号出现问题, 不能解答, 所以来晚了
有疑问就追问吧.
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