初二数学:求使得关于x的方程(a+1)x^2-(a^2+1)x+2a^3-6=0的两个根都是整数的所有整数a如题,要过程!快

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/20 01:40:04
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初二数学:求使得关于x的方程(a+1)x^2-(a^2+1)x+2a^3-6=0的两个根都是整数的所有整数a
如题,要过程!快

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1
当a=-1时,原方程为
-2x-8=0;解得x=-4.
2
若a≠-1,则
由韦达定理,
x1+x2=(a^2+1)/2(a+1);
x1·x2=(2a^3-6)/(a+1);
则若x和a都是整数,则
令p=x1+x2=(a^2+1)/2(a+1);
q=x1·x2=(2a^3-6)/(a+1);

a^2+1=2p·(a+1);
2a^3-6=q·(a+1);
两式相加得:
2a^3 +a^2 -5 =(2p+q)·(a+1);
(2a^3 +a^2 -5)/(a+1)=2p+q;
使(2a^3 +a^2 -5)/(a+1)=(2a^2-a+1)-6/(a+1)为整数,则可知
a+1 一定能被6整除.
则a可能的取值是:
-7,-3,-2,0,1,2,5;
将上面各值分别代入原方程得,可知,当a=-7,-3,-2,2,5时原方程的判别式小于零.
于是,a=0,1或-1.

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