已知椭圆x^2/2+Y^2=1 过点A(2,1)椭圆的割线,求截得弦中点的轨迹方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 17:19:23
已知椭圆x^2/2+Y^2=1 过点A(2,1)椭圆的割线,求截得弦中点的轨迹方程
已知椭圆x^2/2+Y^2=1 过点A(2,1)椭圆的割线,求截得弦中点的轨迹方程
已知椭圆x^2/2+Y^2=1 过点A(2,1)椭圆的割线,求截得弦中点的轨迹方程
方法一
（1）中点P(x,y)
(yA-yB)/(xA-xB)=2
xA+xB=2x,yA+yB=2y
x^2/2+y^2=1
x^2+2y^2=2
(xA)^2+2(yA)^2=2.(1)
(xB)^2+2(yB)^2=2.(2)
(1)-(2):
(xA+xB)*(xA-xB)+2(yA+yB)*(yA-yB)=0
(xA+xB)+2(yA+yB)*(yA-yB)/(xA-xB)=0
2x+2*2y*2=0
弦中点的轨迹方程:x+4y=0
（2）P(x,y)
xB+xC=2x,yB+yC=2y
k(BC)=(yB-yC)/(xB-xC)=(yA-yP)/(xA-xP)=(1-y)/(2-x)
(xB+xC)+2(yB+yC)*(yB-yC)/(xB-xC)=0
2x+2*2y*(1-y)/(2-x)=0
(x-1)^2+2*(y-0.5)^2=1.5
弦中点的轨迹方程椭圆:(x-1)^2/1.5+(y-0.5)/0.75=1
（3）xA+xB=2*1/2=1
yA+yB=1
(yA-yB)/(xA-xB=(y-1/2)/(x-1/2)
(xA+xB)+2(yA+yB)*(yA-yB)/(xA-xB)=0
1+2*1*(y-1/2)/(x-1/2)=0
2x-4y-3=0
方法二
设过 A 的椭圆的割线方程为 x=my+2 ,
代入椭圆方程得 (my+2)^2/4+y^2=1 ,
化简得 (m^2+4)y^2+4my=0 ,
设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,AB 的中点为 P（x,y）,
则 y1+y2= -4m/(m^2+4) ,y1*y2=0 ,
所以 x1+x2=m(y1+y2)+4=16/(m^2+4) ,
也就是 P 的参数方程为
｛x=(x1+x2)/2= 8/(m^2+4) ,
｛y=(y1+y2)/2= -2m/(m^2+4) ,
（2）/（1）得 y/x= -m/4 ,即 m= -4y/x ,
代入 x=my+2 得 x= -4y^2/x+2 ,
化简得 x^2+4y^2-2x=0 .这就是 P 的轨迹方程.
进一步可化为 (x-1)^2+y^2/(1/4)=1 ,它是椭圆.
哟时候相信自己,未必不好