AB=2,AC=根号2BC,求三角形ABC面积的最大值?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 00:20:53
AB=2,AC=根号2BC,求三角形ABC面积的最大值?
AB=2,AC=根号2BC,求三角形ABC面积的最大值?
AB=2,AC=根号2BC,求三角形ABC面积的最大值?
AB=2,AC=(√2)BC,求三角形ABC面积的最大值?
c=AB=2,b=AC,a=BC,b=(√2)a；
cosC=(a²+b²-4)/2ab=(3a²-4)/[(2√2)a²]
sinC=√(1-cos²C)=√[1-(3a²-4)²/(8a⁴)]=√{[8a⁴-(9a⁴-24a²+16)]/8a⁴}
=√[(-a⁴+24a²-16)/8a⁴]=√[-(a⁴-24a²+16)/8a⁴]=√[-(a²-12)²+128]/8a⁴]
SΔABC=(1/2)absinC=(√2/2)a²sinC=(√2/2)a²√[-(a²-12)²+128]/8a⁴]
=(1/4)√[-(a²-12)²+128]≦(1/4)√128=2√2.
即ΔABC面积的最大值为2√2.此时a²=12,a=2√3,b=2√6；
cosC=32/(24√2)=4/(3√2)=(2/3)√2,
sinC=√(1-8/9)=1/3,
S=(1/2)×2√3×2√6×(1/3)=(2/3)√18=2√2.
字母标记如图。三角形ABC的面积S=(1/2)*AB*h=h，可见我们只要求出最大的h就可以了。这里有一个“限制条件：a+√2· a >AB=2，即a>2/(1+√2) = - 2 + 2√2 . 在左右两个直角三角形中利用勾股定理，得到： h²＝2a²－m², h²＝a²－n²＝a²－(2－m)², 消去h²，得到a与m的关系式， 代入h²＝2a²－m²中得到 h²＝－(m－4)²＋8, 但是在m<4的时候h²随着m的增大而增大，且m的最大值只可以为2，此时角B就是直角。h²＝－(m－4)²＋8＝－(2－4)²＋8＝4，h＝2. 也就是三角形ABC的角B为直角的时候，三角形ABC的面积最大。S的最大值为2. 啊哈，恰好是个等腰直角三角形。
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