已知三角形ABC的面积S满足根号3大于等于S小于等于3,且向量AB*向量BC=6,其夹角为a (1)求a的取值范围(2)求f(a)=(sina)^2+2sina*cosa+3(cosa)^2的最小值 最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 16:29:09
已知三角形ABC的面积S满足根号3大于等于S小于等于3,且向量AB*向量BC=6,其夹角为a (1)求a的取值范围(2)求f(a)=(sina)^2+2sina*cosa+3(cosa)^2的最小值 最大值
已知三角形ABC的面积S满足根号3大于等于S小于等于3,且向量AB*向量BC=6,其夹角为a (1)求a的取值范围(2)求f(a)=(sina)^2+2sina*cosa+3(cosa)^2的最小值 最大值
已知三角形ABC的面积S满足根号3大于等于S小于等于3,且向量AB*向量BC=6,其夹角为a (1)求a的取值范围(2)求f(a)=(sina)^2+2sina*cosa+3(cosa)^2的最小值 最大值
(1) S=1/2*|AB|*|BC|sina,T=向量AB*向量BC=|AB|*|BC|cosa=6
S/T=S/6=1/2*sina/cosa=1/2tana,∴S=3tana
∵√3≤S≤3,∴√3/3≤S/3=tana≤1,又∵a为三角形内角,∴a∈[π/6,π/4]
(2) f(a)=(sina)^2+2sina*cosa+3(cosa)^2
=[1-cos2a]/2+sin2a+3[1+cos2a]/2
=2+sin2a+cos2a
=2+√2sin(2a+π/4)
∵a∈[π/6,π/4],∴2a+π/4∈[7π/12,3π/4]
又sinx在[7π/12,3π/4]上为单调递减函数
∴f(a)的最小值为f(3π/4)=2+1=3
f(a)的最大值为f(7π/12)=2+√3/2+1/2=[5+√3]/2
(1)S=(1/2)IABIIACIsina，依据题意有：√3≤(1/2)IABIIACIsina≤3，即2√3≤IABIIACIsina≤6①
因AB*AC=6，所以IABIIACIcosa=6，即IABIIACI=6/cosa②。将②代入①：1/√3≤tana≤1，所以π/6≤a≤π/4。
(2)f(a)=(sina)^2+2sina*cosa+3(cosa)^2
=(...
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(1)S=(1/2)IABIIACIsina，依据题意有：√3≤(1/2)IABIIACIsina≤3，即2√3≤IABIIACIsina≤6①
因AB*AC=6，所以IABIIACIcosa=6，即IABIIACI=6/cosa②。将②代入①：1/√3≤tana≤1，所以π/6≤a≤π/4。
(2)f(a)=(sina)^2+2sina*cosa+3(cosa)^2
=(sina)^2+2sina*cosa+(cosa)^2+2(cosa)^2
=1+sin2a+2(cosa)^2
=2+sin2a+cos2a
=2+√2sin(2a+π/4)
因为：π/6≤a≤π/4，所以7π/12≤2a+π/4≤9π/12，显然2a+π/4在第二象限，所以：
当2a+π/4=7π/12时，即a=π/6时，f(a)取最大值(5+√3)/2；
当2a+π/4=9π/12时，即a=π/4时，f(a)取最小值3。
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