一直等差数列an的各项为正数,a1=3,前n相和为sn,bn的公比是2的等比数列,且a3b3=56,b5s4=768（1）求an bn通项公式（2）求｛an·bn｝的前n项和Tn
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/18 00:12:02
一直等差数列an的各项为正数,a1=3,前n相和为sn,bn的公比是2的等比数列,且a3b3=56,b5s4=768（1）求an bn通项公式（2）求｛an·bn｝的前n项和Tn
一直等差数列an的各项为正数,a1=3,前n相和为sn,bn的公比是2的等比数列,且a3b3=56,b5s4=768
（1）求an bn通项公式
（2）求｛an·bn｝的前n项和Tn
一直等差数列an的各项为正数,a1=3,前n相和为sn,bn的公比是2的等比数列,且a3b3=56,b5s4=768（1）求an bn通项公式（2）求｛an·bn｝的前n项和Tn
⑴设公差为d,公比为q,则有
a3=3+2d,S4=12+6d,b5=q^2b3=4b3
(3+2d)*b3=56 ...①
4b3*(12+6d)=768 ...②
②除①得d=2 代入①得b3=8 即有b1=2
an=a1+(n-1)d=2n+1
bn=b1*q^(n-1)=2^n
⑵Tn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n
将通项公式化为n*2^(n+1)+2^n然后去化简,稍微有点复杂,去化繁为简吧
(1)
设a(n)=3+d(n-1), b(n)=b*2^(n-1)
a(3)=3+2d, b(3)=4b,
所以：4b(2d+3)=56①
b(5)=16b, s(4)=4(a1+a4)/2=2(a1+a1+3d)=6+6d
所以：96b(1+d)=768②
由①②解得：d=-5, b=-2
因此：
an=3-5...
全部展开
(1)
设a(n)=3+d(n-1), b(n)=b*2^(n-1)
a(3)=3+2d, b(3)=4b,
所以：4b(2d+3)=56①
b(5)=16b, s(4)=4(a1+a4)/2=2(a1+a1+3d)=6+6d
所以：96b(1+d)=768②
由①②解得：d=-5, b=-2
因此：
an=3-5(n-1)=8-5n
bn= -2^n
(2)
令cn=an·bn=-2^n(8-5n)
c(1)=-2×3
c(2)=-2^2×(-2)
c(3)=-2^3×(-7)
...
c(n)=-2^n(8-5n)
T(n)=-2×3 - 2^2×(-2) - 2^3×(-7) - ... - 2^n×(8-5n)
而
2T(n)= -2^2×3 - 2^3×(-2) - 2^4×(-7) - ... - 2^(n+1)×(8-5n)
因此2T(n)-T(n)
=2×3 - 2^2×5 - 2^3×5 - ... - 2^n×5 - 2^(n+1)×(8-5n)
=6 - 5(2^2+2^3+...+2^n)-2^(n+1)×(8-5n)
=6-5×4(1-2^n)/(1-2)-2^(n+1)×(8-5n)
=26 - 2^(n+1)×(18-5n)
收起