lim(1-3/x)^x+1 =e^3 (公式) x->无穷大 此题括号内1-无穷小,的无穷大次方应该不会大于1,怎么会等于e^3
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 01:22:21
lim(1-3/x)^x+1 =e^3 (公式) x->无穷大 此题括号内1-无穷小,的无穷大次方应该不会大于1,怎么会等于e^3
lim(1-3/x)^x+1 =e^3 (公式) x->无穷大 此题括号内1-无穷小,的无穷大次方应该不会大于1,怎么会等于e^3
lim(1-3/x)^x+1 =e^3 (公式) x->无穷大 此题括号内1-无穷小,的无穷大次方应该不会大于1,怎么会等于e^3
1. 当x->无穷大的时候,底数趋向1,指数趋向于正无穷,而且收敛速度不同,所以不能分开求极限
2. 所以原式应该化简后求极限:
lim(1-3/x)^(x+1)=lim(1-3/x)^(-x/3*3*(-1)+1)=lim[(1-3/x)*(1-3/x)^(-x/3*3*(-1)]=1*e^(-3*-1)=e^3
倒数第二步成立的原因是,两个收敛函数的积仍为收敛函数
其中还用到了lim(1+a/x)^(x/a)=e^a,当x->无穷大,a不等于0
令t=-x/3,当x→∞时,t→∞。而x=-3t,(1-3/x)^(x+1)= (1+1/t)^( -3t +1)= (1+1/t)^( -3t) •(1+1/t)= [ (1+1/t)^ t ]^ (-3) •(1+1/t),因此,在自变量→∞时,lim (1-3/x)^(x+1)= lim{[ (1+1/t)^ t ]^ (-3) •(1+/1t)}=e^ ...
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令t=-x/3,当x→∞时,t→∞。而x=-3t,(1-3/x)^(x+1)= (1+1/t)^( -3t +1)= (1+1/t)^( -3t) •(1+1/t)= [ (1+1/t)^ t ]^ (-3) •(1+1/t),因此,在自变量→∞时,lim (1-3/x)^(x+1)= lim{[ (1+1/t)^ t ]^ (-3) •(1+/1t)}=e^ (-3)•1=e^ (-3)
“括号内(1-3/x)应该是小于等于1的数”是不正确的。“x→∞”说明x→+∞或x→-∞;此外有限和无限有本质的区别。可以这样考察:先考虑x→+∞的正整数情况(此时1-3/x>1),再考察x→+∞的正整数情况,再考察x→-∞时的情况,由此得出x→+∞或x→-∞时lim(1-3/x)^(x+1)= e^ (-3),由自变量→∞时函数极限的定义可知,若x→+∞或x→-∞时lim(1-3/x)^(x+1)= e^ (-3),那么x→∞时lim(1-3/x)^(x+1)= e^ (-3)。
关键的是,我们要做的是找寻x→∞时函数的结果,在x未→∞时只是想了解x→∞的过程中函数的变化趋势。
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