有一些自然数n,满足:2n - n 是3的倍数,3n - n 是5的倍数,5n - n是2的倍数.请问:有一些自然数n,满足:2^n - n 是3的倍数,3^n - n 是5的倍数,5^n - n是2的倍数.请问:这样的 n 中最小的是多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 02:04:41
有一些自然数n,满足:2n - n 是3的倍数,3n - n 是5的倍数,5n - n是2的倍数.请问:有一些自然数n,满足:2^n - n 是3的倍数,3^n - n 是5的倍数,5^n - n是2的倍数.请问:这样的 n 中最小的是多少?
有一些自然数n,满足:2n - n 是3的倍数,3n - n 是5的倍数,5n - n是2的倍数.请问:
有一些自然数n,满足:2^n - n 是3的倍数,3^n - n 是5的倍数,5^n - n是2的倍数.请问:这样的 n 中最小的是多少?
有一些自然数n,满足:2n - n 是3的倍数,3n - n 是5的倍数,5n - n是2的倍数.请问:有一些自然数n,满足:2^n - n 是3的倍数,3^n - n 是5的倍数,5^n - n是2的倍数.请问:这样的 n 中最小的是多少?
47
一、
因为5^n尾数只能是5,则5^n必是奇数,要满足5^n - n是2的倍数,则n必是奇数
二、
要满足3^n - n是5的倍数,则 3^n - n 的尾数只能是0 或 5
3^n的尾数是3,9,7,1,3,9,7,1……(4个一循环)
除以5后的余数为 3,4,2,1,则n的尾数只能在 3,4,2,1,8,9,7,6中选,去掉偶数n的尾数只能在3,1,9,7中选.
当n的尾数是1时,(10k+1)/4余数只能是1或3,则3^(10k+1)的余数只能是3或7,尾数是(3-1)或者(7-1)显然都不能满足是5的整数倍,故n的尾数不能是1,同理n的尾数不能是9.
n的尾数只能是3或者7.n=7,n=13满足3^n - n 是5的倍数.4与10的最小公倍数为20,则n可能是 (7+20k) 或 (13+20k) k∈N
三、
很显然2^n不能被3整除,则 2^n 除以 3 后余数只可能是 1 或 2,且n为奇数时2^n 除以 3 余2,n为偶数时2^n 除以 3 余1,又n只能是奇数,那么必满足2^n 除以 3 余2,要使2^n - n 是3的倍数,n必满足除以3后余2
考察 (7+20k) 或 (13+20k) k∈N
7÷3=2……1
13÷3=4……1
27÷3=9……0
33÷3=11……0
47÷3=15……2
则满足2^n - n 是3的倍数,3^n - n 是5的倍数,5^n - n是2的倍数 最小的自然数为 47
N最小是5
假设(2^n-n)=3a,(3^n - n)=5b,5^n - n=2c,则(2^n-n)*(3^n - n)*(5^n - n)=3a*5b*2c=30a*b*c。
(2*5*3)^n-n(6^n+10^n+15^n-5n-n*2^n-n3^n+n^2)=30*a*b*c.
(2*5*3)^n整除30,只要n是30的整数倍,即可满足等式。接下去证明30是否是最小,请看
6...
全部展开
假设(2^n-n)=3a,(3^n - n)=5b,5^n - n=2c,则(2^n-n)*(3^n - n)*(5^n - n)=3a*5b*2c=30a*b*c。
(2*5*3)^n-n(6^n+10^n+15^n-5n-n*2^n-n3^n+n^2)=30*a*b*c.
(2*5*3)^n整除30,只要n是30的整数倍,即可满足等式。接下去证明30是否是最小,请看
6^n+10^n+15^n-5n-n*2^n-n3^n+n^2是否有存在因子。先休息会!
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是5
首先,不论n为多少,5^n总是一个奇数,而5^n - n必须是2的倍数,所以,n必然是奇数。
其次,2^n - n =(3-1)^n - n ,按二项式展开(3-1)^n后,前n项都是3的倍数,最后一项为 -1,(因为n是奇数,所以,最后一项 -1,而不可能是1)
所以,- 1 - n 必须被3整除,即 n+1是3的倍数,或 n=3k-1,而n又要是奇数,所以,k只能取偶数,即k=...
全部展开
首先,不论n为多少,5^n总是一个奇数,而5^n - n必须是2的倍数,所以,n必然是奇数。
其次,2^n - n =(3-1)^n - n ,按二项式展开(3-1)^n后,前n项都是3的倍数,最后一项为 -1,(因为n是奇数,所以,最后一项 -1,而不可能是1)
所以,- 1 - n 必须被3整除,即 n+1是3的倍数,或 n=3k-1,而n又要是奇数,所以,k只能取偶数,即k=2m,则 n=6m-1。或 n=6m+5,m=0,1,2,。。。
最后,把n=6m+5代入 3^n - n 得
3^(6m+5) - 6m - 5 = 3^5*(3^2)^(3m) - m - 5(m+1) = 3^5*(10-1)^(3m) - m - 5(m+1)
必须是5的倍数,即 3^5*(10-1)^(3m) - m 必须是5的倍数。
分两种情况讨论:
m为奇数,则 3m也是奇数,二项式展开(10-1)^(3m),前3m项都是10的倍数,也是5的倍数,
最后一项为 -1,所以,3^5*(-1) - m 必须是5的倍数,即 3^5+m=243+m=240+3+m,必须是5的倍数,而240显然是5的倍数,所以,m+3要是5的倍数,且m为奇数,m为自然数,则最小的m为 7,对应的最小的n为 6*7+5=47 。
m为偶数,则 3m也是偶数,二项式展开(10-1)^(3m),前3m项都是10的倍数,也是5的倍数,
最后一项为 1,所以,3^5*1 - m 必须是5的倍数,即 3^5-m=243-m=240+3-m,必须是5的倍数,而240显然是5的倍数,所以,m-3要是5的倍数,且m为偶数,m为自然数,则最小的m为 8,对应的最小的n为 6*8+5=53 。
比较二者,最小的应为 n=47 。
更进一步,
由第一种情况,m+3必为偶数,则m+3要是10的倍数(因为同时是5和2的倍数),所以,m=10p-3,而最后,n=6m+5=60p-13,p=1,2,3,。。。
由第二种情况,m-3必为奇数,则m-3要是5的奇数倍,所以,m=5*(2q-1)+3=10q-2,而最后,n=6m+5=60q-7,q=1,2,3,。。。
所以,问题的全解为n=60p-13,或 60p-7, p=1,2,3,。。。。
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根据5^n - n是2的倍数,可知n为奇数。
根据2^n - n 是3的倍数,可知n=5,11,17.......
3^n除以5的尾数为(3,9,7,1),(3......
3^的尾数:3,7,3,7,3,7,3,7,3
n的尾数: 0,1,2,3,4,0,1,2,3,
所以,n最小等于5+(9-1)*6=53