方程（x+y+1991）^2=x^2+y^2+1991^2的整数解（x,y）有几组?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 21:39:56
方程（x+y+1991）^2=x^2+y^2+1991^2的整数解（x,y）有几组?
方程（x+y+1991）^2=x^2+y^2+1991^2的整数解（x,y）有几组?
方程（x+y+1991）^2=x^2+y^2+1991^2的整数解（x,y）有几组?
转化为
xy+1991（x+y）=0 （1）
y=-1991x/(x+1991) （2）
由（1）容易得出x=0,y=0算一组整数解.
由（2）知,必然满足1991x=N(x+1991) ,N为整数,才能使y为整数.
则x=1991N/(1991-N) (3)
因为1991是个质数,除了1,1991外没有其它因数,因此要想整除,
1991-N 只有两种选择,即等于+-1,或者+-1991.
综上,当N=0时,x=0,y=0 （已明）
N=1990时,x=1990*1991,y=1990；
N=1992时,x=-1991*1992,y=1992；
N=2*1991,x=-2*1991,y=2*1991;
由（1）知,x和y是关于直线 y=x对称的,数值可以互换.
因此,满足要求的整数解为7组.
得你30分值得.
（x+y+1991）^2=x^2+y^2+1991^2
左边=x^2+y^2+1991^2+2xy+2*1991x+2*1991y=x^2+y^2+1991^2=右边。
故2xy+2*1991x+2*1991y=0
xy+1991x+1991y=0
y=-1991x/(x+1991)
有5组，x=-1990,-1992时y有整数解，因为是对称的，
...
全部展开
（x+y+1991）^2=x^2+y^2+1991^2
左边=x^2+y^2+1991^2+2xy+2*1991x+2*1991y=x^2+y^2+1991^2=右边。
故2xy+2*1991x+2*1991y=0
xy+1991x+1991y=0
y=-1991x/(x+1991)
有5组，x=-1990,-1992时y有整数解，因为是对称的，
x=-1991y/(y+1991),y=-1990,-1992时x也有整数解，还有一组x=0,y=0.
收起
（x+y+1991）^2=x^2+y^2+1991^2
左边=x^2+y^2+1991^2+2xy+2*1991x+2*1991y=x^2+y^2+1991^2=右边。
故2xy+2*1991x+2*1991y=0
xy+1991x+1991y=0
y=-1991x/(x+1991)
有无穷多组：（x,-1991x/(x+1991)), x<>-1991