求函数f(x)=x2+2a2x-1(a为常数)在区间[2,4]上的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/05 23:22:32
求函数f(x)=x2+2a2x-1(a为常数)在区间[2,4]上的最大值
求函数f(x)=x2+2a2x-1(a为常数)在区间[2,4]上的最大值
求函数f(x)=x2+2a2x-1(a为常数)在区间[2,4]上的最大值
函数f(x)=-ax2+2a2x-1的对称轴为x=-a^2,且函数f(x)=-ax2+2a2x-1为下凸（上凹）函数
故其在（-∞,-a^2)上为单调递减,在[-a^2,∞)上单调递增
-a^2≤0,故函数f(x)在[2,4]上单调递增
f(x)max=f(4)=8a^2+15,x∈[2,4]
注意此题还可能出成：求函数f(x)=x2+2ax-1(a为常数)在区间[2,4]上的最大值
这种情况就比较复杂了,下面给出解决步骤：
函数f(x)=x2+2ax-1为以x=-a为对称轴的2次函数,要求函数在区间[2,4]上的最大值,需讨论对称轴x=-a的位置
函数f(x)=x2+2ax-1的对称轴为x=-a,且函数f(x)=-ax2+2ax-1为下凸（上凹）函数
故其在（-∞,-a)上为单调递减,在[-a,∞)上单调递增
1^当[2,4]在（-∞,-a)内时,即a＜-4时,函数f(x)=x2+2ax-1的最大值f(x)max=f(2)=4a+3；
2^当[2,4]在[-a,∞)内时,即a≥-2时,函数f(x)=x2+2ax-1的最大值f(x)max=f(4)=8a+15；
3^当-a∈(2,4],即-4≤a＜-2…①时还要分类讨论
当-a-2＞4-（-a),即a＜-3联合①有-4≤a＜-3,此时f(x)max=f(2)=4a+3
当-a-2＜4-（-a),即a＞-3联合①有-3＜a＜-2,此时f(x)max=f(4)=8a+15
当-a-2=4-（-a),即a=-3时,f(x)max=f(2)=f(4)=-9.
PS：3^中我取-a∈(2,4],而不是-a∈[2,4],是因为这样更严谨,你在做题时并不一定要考虑得如此细微.