已知f(x)是定义在[-1,1]上奇函数,且f(1)=1,若a、b€[1,-1],a+b不等于0,且f(a)+f(b)/a+b>0.(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论.(2)若f(x)小于等于m^2-2am+1对所有的x€[-1,1]、a€[-1,1}恒成立,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 19:43:52
已知f(x)是定义在[-1,1]上奇函数,且f(1)=1,若a、b€[1,-1],a+b不等于0,且f(a)+f(b)/a+b>0.(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论.(2)若f(x)小于等于m^2-2am+1对所有的x€[-1,1]、a€[-1,1}恒成立,
已知f(x)是定义在[-1,1]上奇函数,且f(1)=1,若a、b€[1,-1],a+b不等于0,且f(a)+f(b)/a+b>0.(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论.(2)若f(x)小于等于m^2-2am+1对所有的x€[-1,1]、a€[-1,1}恒成立,求实数m的取值范围.
已知f(x)是定义在[-1,1]上奇函数,且f(1)=1,若a、b€[1,-1],a+b不等于0,且f(a)+f(b)/a+b>0.(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论.(2)若f(x)小于等于m^2-2am+1对所有的x€[-1,1]、a€[-1,1}恒成立,
(1)设x1,x2∈[-1,1]且x10中取a=x2,b=-x1,得
[f(x2)+f(-x1)]/(x2-x1)>0
由于f(x)是奇函数,且x2-x1>0
所以 f(x2)-f(x1)>0,从而(x)在[-1,1]上是增函数.
(2)若f(x)≤m²-2am+1对所有的x∈[-1,1]、a∈[-1,1]恒成立,
则 [f(x)]max≤m²-2am+1,
即 f(1)≤m²-2am+1,
所以 m²-2am≥0 对于a∈[-1,1]恒成立
①当m=0时,不等式化为0≥0,成立；
②当m≠0时,令g(a)=m²-2am,则g(a)是单调的,
于是m²-2am≥0 对于a∈[-1,1]恒成立等价于g(1)≥0且g(-1)≥0
即m²-2m≥0且m²+2m≥0,解得m≥2或m≤-2
所以m的取值范围是m≥2或m≤-2或m=0