如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为DC、BC边上的点,且满足DE+BF=EF,延长CB至点G,使得GB=DE,连结AG（1）1、求证:AG=AE;2、求∠EAF的度数（2）如图2,在直角梯形ABCD中,AD平行BC,∠A=90°,AB=BC=10,点E是AB中点,

如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为DC、BC边上的点,且满足DE+BF=EF,延长CB至点G,使得GB=DE,连结AG（1）1、求证:AG=AE;2、求∠EAF的度数（2）如图2,在直角梯形ABCD中,AD平行BC,∠A=90°,AB=BC=10,点E是AB中点,
如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为DC、BC边上的点,且满足DE+BF=EF,延长CB至点G,使得GB=DE,连结AG
（1）1、求证:AG=AE;2、求∠EAF的度数
（2）如图2,在直角梯形ABCD中,AD平行BC,∠A=90°,AB=BC=10,点E是AB中点,连结DE、CE,∠DCE=45°,求梯形上底AD的长度
  (3)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,E、F分别为DC,BC上的点,试猜想当∠B+∠D=180°时,∠EAF与∠DAB满足什么数量关系时可使得DE+BF=EF.       



 
 

如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为DC、BC边上的点,且满足DE+BF=EF,延长CB至点G,使得GB=DE,连结AG（1）1、求证:AG=AE;2、求∠EAF的度数（2）如图2,在直角梯形ABCD中,AD平行BC,∠A=90°,AB=BC=10,点E是AB中点,
1、(1)∵ABCD是正方形
∴∠D=∠ABC=∠ABG=90°
AD=AB
DE=BG
∴△ADE≌△ABG
∴AG=AE
(2)∵△ADE≌△ABG
∴∠DAE=∠BAG
∵DE+BF=EF
∴BG+BF=EF
即GF=EF
∵AE=AG(已证明）
AF=AF
∴△AFG≌△AEF
∴∠GAF=∠BAG+∠BAF=∠EAF
∵∠BAF+∠EAF+∠DAE=90°
∴∠BAF+∠BAG+∠EAF=90°
即∠GAF+∠EAF=2∠EAF=90°
∴∠EAF=45°
2、过C做CM⊥AD交AD的延长线于M
∵ABCD是梯形,AB=BC
∴四边形ABCM是正方形
∴BC=AM=CM
把Rt△BCE绕C逆时针旋转90°,使BC和CM重合,得到Rt△CMN
∴∠BCE=∠MCN,CE=CN,BE=MN
∵∠DCE=45°
∴∠BCE+∠DCM=45°
即∠DNM+∠MCN=∠DCN45°
∴∠DCE=∠DCN
∵DC=DC,CE=CN
∴△DCE≌△DCM
∴DN=DE
∵点E是AB中点,即BE=AE=MN=1/2AB=5
∴AN=AM+MN=10+5=15
∴DN=DE=AN-AD=15-AD
在Rt△AED中
AD²+AE²=DE²
AD²+5²=(15-AD)²
AD²+25=225-30AD+AD²
AD=200/30=20/3

(1)为了清晰一些，我们可以先设∠1=∠DAE,∠2=GAB,∠3=∠BAF
首先可以证出△ADE≅△AGB(SAS)则∠1=∠2,AG=AE
由DE+BF=EF，GB=DE可知GF=EF,又因为AF=AF
所以△AGF≅△AEF(SSS),所以∠EAF=∠2+∠3，AG=AE
因为∠1+∠BAE=90°所以∠2+∠BAE=90°即∠GAE=...

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(1)为了清晰一些，我们可以先设∠1=∠DAE,∠2=GAB,∠3=∠BAF
首先可以证出△ADE≅△AGB(SAS)则∠1=∠2,AG=AE
由DE+BF=EF，GB=DE可知GF=EF,又因为AF=AF
所以△AGF≅△AEF(SSS),所以∠EAF=∠2+∠3，AG=AE
因为∠1+∠BAE=90°所以∠2+∠BAE=90°即∠GAE=90°
因为∠EAF=∠2+∠3,所以∠EAF=∠2+∠3=1/2*90°=45°
(2)将直角梯形先补成正方形，然后和（1）差不多，注意45°的使用最后列方程求解（如果不明白，我可以详细说明）
(3)
将△DAE绕A顺时针旋转得到△BHA,则HA=DA
因为∠B+∠D=180°，易证C,B,H共线
因为DE+BF=EF.然后与（1）相同,（如果不明白，我可以详细说明）

PS:遇到有公共端点的等线段，可以旋转，（1）中实际是旋转△DAE

收起

1）1、求证:AG=AE;

      解∵    GB=DE，AB=AD

      ∴   RT△ADE≌RT△ABG（SAS）

      ∴∠AGB=∠AED
      又 DE+BF=EF 

      ∴GF=GB+BF=EF

      ∴△AFG≌△AEF（SAS）
      ∴ AG=AE

      2、求∠EAF的度数      当证明RT△ADE≌RT△ABG（SAS）时，      ∠GAB=∠EAD   即将∠EAD 搬到∠GAB处        ∴∠EAG=90°      ∴∠EAF=∠EAG/2=90°/2=45° 

2）作水平线EG，即可以证明S△ECD=S梯ABCD/2

     作垂直线FD=10，FC=10-AD   ∴CD=√[100+（10-AD ）²]=√[200-20AD+AD²]

     CE²=10²+5²=125  CE=√125

   作CD的高EH=√2/2*CE=√250/2

   所以（AD+10）/2 *10=2（EH*CD）/2=√250/2*√[200-20AD+AD²]

     5AD+50=√250/2*√[200-20AD+AD²]

     10AD+100=√250*√[200-20AD+AD²]

     100AD²+2000AD+10000=250*（200-20AD+AD²）

     -150AD²+7000AD-40000=0

      15AD²-700AD+4000=0

      3AD²-140AD+800=0

   （  3AD-20）（AD-40）=0

      AD=20/3      AD=40（大于下底，舍去）

3）∠B+∠D=180°而且是∠B=∠D=90°时，还有AC是∠BAD的角平分线，AF、AE分别是

∠BAC、∠DAC的角平分线，∠EAF=∠DAB/2时，可使得DE+BF=EF（角平分线上一点到两边距离相等）