求2003^(2002^2001)的最末三位数要用同余的

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/15 13:58:11

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求2003^(2002^2001)的最末三位数要用同余的
求2003^(2002^2001)的最末三位数
要用同余的

求2003^(2002^2001)的最末三位数要用同余的
答案是241,真的,用程序算的~
如果要手工证明的话,就得等了,我尽力而为~
我手工算得是041,真不知哪个正确了,还得等~不过用同余法无法完成,要用到二项式,还需要吗?
哈哈~终于搞掂啦~答案的确是241,可能简略了点,望见谅!
2003≡3(mod1000),
2003^(2002^2001)≡3^(2002^2001)(mod1000),
而 3^(2002^2001)=3^(4*2002^1999*1001^2)
=81^(2002^1999*1001^2)
=(80+1)^(2002^1999*1001^2),
考察二项式展开式的后三项：
2002^1999*1001^2*(2002^1999*1001^2-1)*80*40+2002^1999*1001^2*80+1,
显然最后一位数是1,
而2002^1999*1001^2≡2^1999(mod1000),
2^1999≡4^999*2(mod1000),
考察4^n的后两位数,我们可以发现,它是以04,16,64,56,24,96,84,36,44,76循环,
而999=99*10+9,
所以 2002^1999*1001^2的末两位数是44*2=88,
所以 2003^(2002^2001)的最后三位数等于
88*87*80*40+88*80+1=24506241的最后三位数,
即 2003^(2002^2001)的最末三位数为241.

3^(2^2001)=9^(2^2000)=(10-1)^(2^2000),展开，只取后几项算就可以

3*2*1=6
个位数相乘即可

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