已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,直线x+y=1被椭圆截得的弦AB的长为2根号2,且AB的中点与原点连线的斜率为（根号2）/2,求椭圆方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 22:46:22
已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,直线x+y=1被椭圆截得的弦AB的长为2根号2,且AB的中点与原点连线的斜率为（根号2）/2,求椭圆方程
已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,直线x+y=1被椭圆截得的弦AB的长为2根号2,且AB的中点与原点连线的斜率为（根号2）/2,求椭圆方程
已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,直线x+y=1被椭圆截得的弦AB的长为2根号2,且AB的中点与原点连线的斜率为（根号2）/2,求椭圆方程
椭圆ax²+by²=1与直线X+Y-1=0相交于AB两点,C是AB中点,若|AB|=2√2,0为原点,OC斜率为√2/2 ,求a,b.
【解】设A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x0,y0）
联立：ax²+by²=1与x+y-1=0得
（a+b)x²-2bx+b-1=0
由韦达定理得：x1+x2=2b/（a+b）,x1•x2=（b-1）/（a+b）.
|AB|=√2•√[2b/（a+b）]²-[4(b-1)/(a+b)]=2√2
整理得:a²+b²+3ab-a-b=0……①
又x0=(x1+x2)/2,即x0=b/（a+b）
y0=(y1+y2)/2=(-x1+1-x2+1)/2 即y0=a/（a+b）
OC斜率为√2/2 ,则y0/x0=a/b=√2/2…… ②
联立①②解得：a=1/3,b=√2/3.
椭圆方程：x^2/3+y^2/(9/2)=1
设椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1
设A（Xa,Ya)，B（Xb,Yb)
代入，可得方程组 Xa2/a2+Ya2/b2=1
Xb2/a2+Ya2/b2=1
两式相减得 （Xa+Xb)(Xa-Xb)/a2+(Ya+Yb)(Ya-Yb)/b2=0
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设椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1
设A（Xa,Ya)，B（Xb,Yb)
代入，可得方程组 Xa2/a2+Ya2/b2=1
Xb2/a2+Ya2/b2=1
两式相减得 （Xa+Xb)(Xa-Xb)/a2+(Ya+Yb)(Ya-Yb)/b2=0
（Xa+Xb)/a2+(Ya+Yb)/b2*Kab=0
设中点坐标为（x,y)
2x/a2-2y/b2=0
b2\a2=根2/2
设a2=2k，b2=根2k
得方程组 x2/2k+y2/根2k=1
x+y=1
消去y （根2k+2k)x2-4x+2k-2根2k2=0
用弦长公式 根（1+kab)*delta/绝对值a 求得k即可
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