已知中心在原点,焦点在X轴上的椭圆的离心率为2分之根号2,F1F2为其焦点,一直线过点F1与椭圆相交于A,B两已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆的离心率为2分之根号2，F1F2为其焦点，一直线过点
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 01:05:19
已知中心在原点,焦点在X轴上的椭圆的离心率为2分之根号2,F1F2为其焦点,一直线过点F1与椭圆相交于A,B两已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆的离心率为2分之根号2，F1F2为其焦点，一直线过点
已知中心在原点,焦点在X轴上的椭圆的离心率为2分之根号2,F1F2为其焦点,一直线过点F1与椭圆相交于A,B两
已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆的离心率为2分之根号2，F1F2为其焦点，一直线过点F1与椭圆相交于A,B两点，且三角形F2AB的最大面积为根号2.求椭圆的方程
已知中心在原点,焦点在X轴上的椭圆的离心率为2分之根号2,F1F2为其焦点,一直线过点F1与椭圆相交于A,B两已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆的离心率为2分之根号2，F1F2为其焦点，一直线过点
这题用以下思路可能算不出,也不知道是不是我中间解错了,但是写那么多不忍心删掉……
个人觉得可以尝试一下极坐标的方法 ,
由题e=c/a=1/√2,则a=√2c=√2b,椭圆方程x²/2c²+y²/c²=1
设直线AB:y=k(x+c),A(x1,y1),B(x2,y2),
易得S△F2AB=1/2*2c*|y1-y2|=c*|k(x1-x2)|
联立直线与椭圆的方程,可得(2k²+1)x²+4k²cx+2(k²-1)c²=0
∴x1+x2=-4k²c/(2k²+1),x1x2=2(k²-1)c²/(2k²+1)
∴(x1-x2)²=[(4k²c)²-8(k²-1)c²]/(2k²+1)²=8c²(2k^4-k²+1)/(2k²+1)²
S=c*|k(x1-x2)|=2√2c²*k*√(2k^4-k²+1)/(2k²+1) (由图像对称性可使k>0)
算了半天就只能算到这里了,最值太难算了,估计还是方法不对……悲摧啊
思路：利用已知的离心率设出椭圆的方程，还有直线（考虑用横截式），然后通过联立方程将三角形的面积表示出来，求最值，可得出结果。
由于离心率为√2/2，所以c/a=√2/2,又根据椭圆定义，a^2=b^2+c^2,联合解得
a^2=2b^2且b=c.故椭圆方程可写为
x^2/2b^2+y^2/b^2=1.
可设，过F1点的直线方程式为Y=Kx+B,且经过点
（-3，0），故方程可写成Y=K(x+c).
代入椭圆方程式，化简得到：
y^2(1+2k^2)-2bky-b^2=0, ...
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由于离心率为√2/2，所以c/a=√2/2,又根据椭圆定义，a^2=b^2+c^2,联合解得
a^2=2b^2且b=c.故椭圆方程可写为
x^2/2b^2+y^2/b^2=1.
可设，过F1点的直线方程式为Y=Kx+B,且经过点
（-3，0），故方程可写成Y=K(x+c).
代入椭圆方程式，化简得到：
y^2(1+2k^2)-2bky-b^2=0, 解得
y1-y2=8k^2b^2(1+k^2).
三角形F2AB的面积其实就是2c为底边，y的绝对值为高的二个三角形之和，加在一起就是
c*(y1-y2),又因为c是固定的，所以，最大面积取决于（y1-y2）,又因为
y1-y2=8k^2b^2(1+k^2).所以k=+∞时，面积最大。
当k=+∞时，直线方程可变成x=-c.
再代入椭圆方程再加上（a^2=2b^2且b=c）解得
y=+与-（√2/2）*b.
则y1-y2=√2b。
最大面积=c*(y1-y2)=√2cb=√2,又因为
b=c,所以b=c=1,b^2=c^2=1.又因为a^2=2b^2,所以a^2=2。
所以解得椭圆方程:
(x^2/2)+(y^2)=1
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