如图,一道几何数学题D,E,F分别为三角形ABC的三条边上的三等分线,三角形ABC的面积为49,求三角形DEF的面积D,E,F分别为三角形abc的三条边上的三等分线fc,db,ae相交,形成一个小三角形求证 这个
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 00:55:13
如图,一道几何数学题D,E,F分别为三角形ABC的三条边上的三等分线,三角形ABC的面积为49,求三角形DEF的面积D,E,F分别为三角形abc的三条边上的三等分线fc,db,ae相交,形成一个小三角形求证 这个
如图,一道几何数学题
D,E,F分别为三角形ABC的三条边上的三等分线,
三角形ABC的面积为49,
求三角形DEF的面积
D,E,F分别为三角形abc的三条边上的三等分线
fc,db,ae相交,形成一个小三角形
求证 这个小三角形的面积是三角形ABC的面积的七分之一
如图,一道几何数学题D,E,F分别为三角形ABC的三条边上的三等分线,三角形ABC的面积为49,求三角形DEF的面积D,E,F分别为三角形abc的三条边上的三等分线fc,db,ae相交,形成一个小三角形求证 这个
这个题可用梅涅劳斯定理做比较有力.
梅涅劳斯定理:一条直线交三角形的三边(延长线)的分比之积等于1.
以图中的△ABD为例,直线FC交△ABD的三边(AD边于延长线)于F, I, C,则
(FA/FB)·(IB/ID)·(CD/CA)=1,
由于FA/FB=-1/2, CD/CA=1/3, 代入上式可得IB/ID= -6
又,直线AE交△BCD的三边(CD边于延长线)于E, A, H,则
(EB/EC)·(AC/AD)·(HD/HB)=1,
将EB/EC=-1/2, AC/AD=3/2代入得HD/HB=-4/3.
可见H,I分别是线段BD的第3、第6个7等分点,所以H是BI的中点.
同理,G是AH的中点,I是CG的中点.由三角形中线平分其面积的性质,三角形ABC被分割成7个相等的小△,所以…….
楼上解得完全正确
三角形DEC的底边DC与三角形ABC的底边AC比值为1/3,同时两三角形的对应底边上的高之比等于EC比BC等于2/3,所以上述两三角形的面积之比为2/9,同理三角形FAD、三角形EBF分别与三角形ABC的面积之比均为2/9,所以三角形DEF面积与三角形ABC面积之比为1:3.同理可证小三角形面积为三角形DEF面积的3/7,所以小三角形面积是三角形ABC面积的1/7....
全部展开
三角形DEC的底边DC与三角形ABC的底边AC比值为1/3,同时两三角形的对应底边上的高之比等于EC比BC等于2/3,所以上述两三角形的面积之比为2/9,同理三角形FAD、三角形EBF分别与三角形ABC的面积之比均为2/9,所以三角形DEF面积与三角形ABC面积之比为1:3.同理可证小三角形面积为三角形DEF面积的3/7,所以小三角形面积是三角形ABC面积的1/7.
收起
易知△ABE的面积=S1+S6+S3=1/3*(S△ABC)=S△BCD=S1+S4+S2=S△ACF=S2+S5+S3,将它们加起来,则S1+S6+S3+ S1+S4+S2+ S2+S5+S3=(S△ABC)=S+S1+S2+S3+S4+S5+S6 得S=S1+S2+S3 过E作EG∥AC,有△OGE≌△ODA,和△BGE≌△BDC, 则OE:OA=GE:AD=GE:(2*DC)=1:6 (∵其中AD:DC=2:1, GE:DC=1:3) ∴S1:(S3+S6)=1:6 即6*S1=S3+S6同理可得 6*S2=S1+S4, 6*S3=S2+S5 将它们左右分别加和,则有6*(S1+S2+S3)= 6*S= S1+S2+S3+S4+S5+S6= S△ABC-S 故7*S=S△ABC,得证。
三分之一
算AFD,CDE,BEF的面积
afd看成以AD为底的三角形,底为大三角形的2/3,高为1/3,故面积为2/9.同理可得另外两个的面积也为2/9.故三角形DEF面积为1/3,即49/3